福建省南平市浦城县19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列说法正确的是()A. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的概率一定是25次B. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖2.用配方法解一元二次方程x2−4x=5时，此方程可变形为()A. (x+2)2=1B. (x−2)2=1C. (x+2)2=9D. (x−2)2=93.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是()A. 4B. 5C. 6D. 74.在平面直角坐标系中，点P(2,−4)关于原点对称的点的坐标是()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,−4)D. (−4,2)5.在平面直角坐标系中，点A(−6,2)，B(−4,−4)，将△ABO以原点O为位似中心，相似比为2：1，进行位似变换，则点A的对应点A′的坐标是()A. (−3,1)或(−2,−2)B. (−3,1)或(3,−1)C. (−12,4)或(12,−4)D. (−12,4)或(−8,−8)6.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P等于()A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°7.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 28.如图，A、B两点在双曲线y=4上，分别经过A、B两点向x轴、xy轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=()A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 67.5∘10.已知A(1,y1).B(2,y2).C(−3,y3)都在反比例函数y=2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系的是x()A. y2>y1>y3B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y1>y3>y2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相似比为______．12.抛物线y=x2−4x+c的顶点在x轴上，则c的值为___________．13.一个底面直径是10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面积为______cm2．14.在△ABC中，∠A=72°，若O为内心，则∠BOC=______°.15.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．16.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E.若DE=1，则矩形ABCD的面积为_______．三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）17.用适当的方法解一元二次方程(1)x 2−2x−3=0．(2)x 2−3x+1=0．18.已知关于x的一元二次方程(m2−m)x2−2mx+1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为整数且m<3，a是方程的一个根，求代数式2a2−3a−2a2+1+2的值．419.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．四、解答题（本大题共6小题，共62.0分）20.已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E.求证：DE⊥AE．21.如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；(3)李明同学发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的最大值．(k为常数且k≠0)的图象交于A(−1,a)，B 22.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx两点，与x轴交于点C．(1)求a，k的值及点B的坐标；S△BOC，直接写出点P的坐标．(2)若点P在x轴上，且S△ACP=3223.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧BD⏜上，连接AE、ED、DA．(1)求证：∠DAC=∠AED；(2)若点E是BD⏜的中点，AE与BC交于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的长．24.如图，AB为圆O的直径，点C是AB延长线上一点，且BC=OB，CD、CE分别与圆O相切于点D、E，若AD=5，求DE的长？25.如图，已知抛物线y=−x2+2x的顶点为A，直线y=x−2与抛物线交于B，C两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；(3)若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A、连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的概率是50%，故此选项错误；B、“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%，是对的，故此选项正确；C、无论哪一次掷骰子，都有6种情况，其中有3种奇数点朝上，另外3种是偶数点朝上；故掷第四，故此选项错误；次偶数点朝上的可能性是12D、如果某种福利彩票，中奖概率为1%，买100张这种彩票，不一定会有1张中奖，故此选项错误．故选B．概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是一定会发生．考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的概念只是反映事件发生机会的大小；概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．2.答案：D解析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：∵x2−4x=5，∴x2−4x+4=5+4，∴(x−2)2=9．故选D．3.答案：B解析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．4.答案：B解析：解：点P(2,−4)关于原点对称的点的坐标是(−2,4)，故选：B．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．5.答案：B解析：此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标乘以k或−k是解题关键．根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．解：∵△ABO的一个顶点A的坐标是(−6,2)，以原点O为位似中心相似比为2：1，将△ABO缩小得到它的位似图形△A′B′O，∴点A′的坐标是：(−12×6,12×2)或[−12×(−6),−12×2]，即(−3,1)，(3,−1)．故选B．6.答案：B解析：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．利用切线的性质易得OA⊥AP，OB⊥BP，再由圆周角定理结合已知条件中∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．解：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠ACB=130°，则∠P=360°−(90°+90°+130°)=50°.故选B.7.答案：A解析：[分析]一元二次方程ax2+bx+m−1=0有实数根，则可转化为ax2+bx=1−m，既可以理解为y=ax2+bx和y=1−m有交点，即可求出m的最小值．[详解]一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=1−m有交点，可见1−m<2，∴m>−1，∴m的最小整数值为0，故答案选A．[点睛]本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax2+bx+m−1=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=1−m有交点”这句话的意义．8.答案：D解析：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，的系数|k|，由此即可求出S1+S2．而矩形面积为双曲线y=4 x解：∵点A、B是双曲线y=4上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，x则根据反比例函数系数k的几何意义得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4−1×2=6．故选D．9.答案：D解析：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°−22.5°=67.5°．解：如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC=CD，∴∠COD=45°，∵AO=CO，∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°−22.5°=67.5°．故选D．10.答案：B解析：(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= k x图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．的图象上，解：∵A(1,y1)、B(2,y2)、C(−3,y3)都在反比例函数y= 2 x∴y1=2，y2=1，y3=− 2 ，3∴y1>y2>y3．故选B．11.答案：1：2解析：解：△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，故答案为：1：2．根据题意求出△ABC与△DEF的面积比，根据相似三角形的性质解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12.答案：4解析：本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点在x轴上其纵坐标为0是解题的关键．把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．解：∵y=x2−4x+c=(x−2)2+c−4，∴其顶点坐标为(2,c−4)，∵顶点在x轴上，∴c−4=0，解得c=4，故答案为4．13.答案：75π解析：本题利用了扇形面积公式，圆的周长公式求解，根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求得答案．解：圆锥的底面直径为10cm，则底面周长=10πcm，圆锥的侧面积=12×10π×15=75πcm2，故答案为75π．14.答案：126解析：解：连接OB、OC，如图1，∵O为内心，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12×(180°−72°)=126°；故答案为：126．连接OB、OC，由内心的性质可求得∠OBC+∠OCB，在△OBC中可求得∠BOC本题主要考查三角形的内心，掌握内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．15.答案：13解析：本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率．求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案．解：图中有9个小正方形，其中黑色区域一共可以凑成3个小正方形，所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=39=13，故答案为：13．16.答案：3√3解析：本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点.根据旋转的性质得到AC=AC′，由AC的中点恰好与D点重合，得到AD= 12 AC，根据三角函数的定义得到∠DAE=∠ACD=30°，求得AD= √3，AE=2，AE=CE=2，根据矩形的面积公式即可得到结论．解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，∴AC=AC′，∵AC的中点恰好与D点重合，∴AD= 12 AC，∴∠DAE=∠ACD=30°，∵DE=1，∴AD= √3，AE=2，∵∠DAC=90°−30°=60°，∴∠EAC=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE=2，∴CD=3，∴矩形ABCD的面积=CD⋅AD=3√3．故答案为3√3．17.答案：解：(1)x2−2x−3=0(x+1)(x−3)=0，x+1=0，x−3=0，x 1=−1，x 2=3；(2)x 2−3x +1=0∵a =1，b =−3，c =1，∴b 2−4ac =9−4=5>0，∴x =3±√52， ∴x 1=3+√52，x 2=3−√52．解析：此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．(1)首先对该方程进行因式分解，然后再进行解答即可；(2)找出a ，b ，c 的值，代入求根公式即可求出解．18.答案：解：(1)由题意有：{m 2−m ≠04m 2−4(m 2−m)>0，解得m >0且m ≠1；(2)∵m >0且m ≠1，而m 为小于3的整数，∴m =2，当m =2时，方程化为2x 2−4x +1=0，∵a 是方程的一个根，∴2a 2−4a +1=0，即2a 2=4a −1，∴原式=4a −1−3a −4a−1+14+2=a −1−a +2=1．解析：(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到关于m 的不等式组，然后解不等式组即可；(2)先利用m 的范围确定整数m 的值得到2a 2=4a −1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．19.答案：解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC =ACAB，即6AC=AC8+6，解得，AC=2√21．解析：根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．本题相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20.答案：证明：连接OD．∵DE与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAD=∠ADO，∴OD//AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠E=90°，∴DE⊥AE．解析：由切线的性质可知∠ODE=90°，纵坐标OD//AE即可解决问题；本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)由排球运行的最大高度为2.8米，则顶点的坐标为G(6,2.8)，则设抛物线的解析式为p=a(x−6)2+2.8．∵点C的坐标为(0,2)，点C在抛物线上，∴2=a(0−6)2+2.8，，解得a=−145∴p=−1(x−6)2+2.8，45(x−6)2+2.8．即排球飞行的高度p(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式为p=−145×(9−6)2+2.8=2.6>2.24，(2)当x=9时，p=−145×(18−6)2+2.8=−0.4<0，当x=18时，p=−145故这次发球可以过网且不出界．(3)设抛物线的解析式为p=a(x−6)2+ℎ，将点C代入得36a+ℎ=2，即ℎ=2−36a，∴抛物线的解析式为p=a(x−6)2+2−36a，;根据题意，要使球不出边界，有：a(18−6)2+2−36a≤0，解得a≤−154，要使球过网，有：a(9−6)2+2−36a>2.24，解得a<−2225所以a≤−1，54故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，．则二次函数中二次项系数的最大值为−154解析：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．可根据二次函数的解析式的最值作为临界值来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．(1)利用抛物线的顶点坐标为(6,2.8)，设出抛物线的顶点式，将点(0,2)代入解析式求出即可；(2)分别求出当x=9，x=18时p的值即可判断；(3)设抛物线的解析式为p=a(x−6)2+ℎ，将点C代入，可知此时抛物线的解析式为p=a(x−6)2+ 2−36a，再根据当x=9时，p>2.24和当x=18时，p≤0即可得a的取值范围，从而求得最大值．22.答案：(1)a=3；k=−3；B(−3,1)；(2)P(−6,0)或(−2,0)解析：[分析](1)求出A 点坐标，代入函数解析式，联立方程组即可解题，(2)根据面积即可求解．[详解]解：(1)把点A(−1,a)代入y =x +4，得a =3，∴A(−1,3)把A(−1,3)代入反比例函数y =k x∴k =−3．∴反比例函数的表达式为y =−3x联立两个函数的表达式得{y =x +4y =−3x解得{x =−1y =3或{x =−3y =1∴点B 的坐标为B(−3,1)．(2)P(−6,0)或(−2,0)∵B(−3,1)，A(−1,3)，C(−4,0)，∴S △BOC =2，即S △ACP =32S △BOC =3，∴CP⋅32=3，CP =2，∵P 在x 轴上，∴P(−6,0)或(−2,0)．[点睛]本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，中等难度，联立解方程组是解题关键．23.答案：证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD，∵∠AED=∠ABD，∴∠DAC=∠AED；(2)解：∵点E是BD⏜的中点，∴∠BAE=∠EAD，∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAE=∠CAD+∠EAD，∴∠CFA=∠CAE，∴CA=CF，∵∠BAC=∠ADB=90°，∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴ACBC =CDAC．即AC2=BC×CD=(5+4)×4=36．解得AC=6．∴CA=CF=6，∴DF=CF−CD=2．解析：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．(1)根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据余角的性质和圆周角定理即可得到结论；(2)根据等腰三角形的性质得到CA=CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．24.答案：解：连接OD，OE，AE，∵CD、CE分别与圆O相切于点D、E，∴∠ODC=∠OEC=90°，∵BC =OB ，∴OC =2OD ，∴∠DCO =30°，∴∠DCE =60°，∴∠DOE =120°，∴∠DAE =60°，∵CD =CE ，∠DCO =∠ECO ，∴AC 垂直平分DE ，∴AD =AE ，∴△ADE 是等边三角形，∴DE =AD =5．解析：连接OD ，OE ，AE ，由于CD 、CE 分别与圆O 相切于点D 、E ，得到∠ODC =∠OEC =90°，根据已知条件得到OC =2OD ，求得∠DCO =30°，推出AC 垂直平分DE ，于是得到△ADE 是等边三角形，即可得到结论．本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．25.答案：解：(1)∵y =−x 2+2x =−(x −1)2+1，∴A(1,1)，联立直线与抛物线解析式可得{y =−x 2+2x y =x −2，解得{x =2y =0或{x =−1y =−3， ∴B(2,0)，C(−1,−3)；(2)证明：∵A(1,1)，B(2,0)，C(−1,−3)，∴AB =√(1−2)2+(1−0)2=√2，BC =√(2+1)2+(0+3)2=3√2，AC =√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴AB 2+BC 2=2+18=20=AC 2，∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C(−1,−3)，∴OD=1，CD=3，∴ABOD =√2=BCCD，∴△ODC∽△ABC；(3)设M(x,0)，则P(x,−x2+2x)，∴OM=|x|，PM=|−x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有PMAB =OMBC或PMBC=OMAB两种情况，①当PMAB =OMBC时，则2√2=3√2，解得x=53或x=73，此时P点坐标为(53,59)或(73,−79)；②当PMBC =OMAB时，则23√2=√2，解得x=5或x=−1(与C点重合，舍去)，此时P点坐标为(5,−15)；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(53,59)或(73,−79)或(5,−15)．解析：(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；(2)由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得ODAB =CDBC，可证得结论；(3)设M(x,0)，则P(x,−x2+2x)，从而可表示出OM和PM的长，分PMAB =OMBC和PMBC=OMAB两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意函数图象交点的求法，在(2)中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出PM和OM的长是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。