数学建模
09数控技术1班张宇095305140
湖水污染问题
一问题的背景与提出
湖泊不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游、度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾，废水、污物等污染的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意思，它们越来越受到工业和生物污水的污染，污染导致生物资源的灭绝，水质变坏，从而给人类带来了灾难。

保护生态环境成为人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的，如何治理湖水污染，下面通过组建数学模型来进行分析。

二模型的假设与符号说明
(1)不区分不同污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊之间的影响，因此可以把湖泊看成是一个单流入、单流出的系统；
(2)流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖水均匀混合，也就是说湖中的污染状况与任何局部水体的湖中的位置无关；
（3）由于水体的自净能力很弱，忽略生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物流出外不困腐烂、沉积或其他任何手段从湖中消失；
(4)不考虑湖水在季节上的差异，湖水的体积保持不变，也就是说假设由降水等原因所引起的流入增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量相互抵消；
(5)I k，S k分别表示k时段的流人流速和流入浓度，O k，T k分别表示k时段的流出流速和流出浓度，V k，P k分别表示k时段湖水的体积和浓度。

三模型的建立与求解
由（二）的假设（4）可知V k=V（常数），则各时段湖中污染物的量为
VP K=VP K+I K S K-O K T K(1) 由于V为常数，故有I K=O K，别外根据（二）的假设（2），流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度T K=P K。

进一步假定从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有I K=O K=r。

这样得到
VP K+1=VP K+r(S K-P K) (2) 令t=V/r，不难理解t给出了排尽湖水所需要的时间或称之为湖水的保留时间，于是有
P K+1=P K+(S K-P K)/t (3) 从式（3）可以看到，当流入浓度S K给定时，湖水污物浓度的变化依赖于湖水的保留时间t，并与t的大小成反比。

进一步有湖水污染模型
P K+1=(1-1/t)P K+S K/t (4) 对于模型（4），需要关于输入的信息，S K不同将导致不同的结论，
下面将根据不同的情况进行讨论。

情形一：设S K=K（常数），可以认为它大致描述了自畏排放的情况或处理后排放的情况，每时段污染物以其平均值流入湖泊内。

如果已知在初始时刻P O，那么模型（4）可以递推的解出为
P K=(1-1/t)(P O-K)+K(5) 从这个结论可以看到
（1）当P O>K时，湖水污染物的浓度将逐渐减少；当P O<K时，湖水污染物的浓度将逐渐增加，而且有，既湖泊的最终污染状况。

（2）记=P K/K为湖水在K时段的污染水平。

=1为标准污染水平；>1时称超标准污染水平，这时湖水污染物的浓度将不断下降；<1时称超标准污染水平，这时湖水的污染状况将不断加重。

（3）若P O=O，即对于一湖清水，K时段的污染水平
(K)=1-(1-1/t) (6) 而对于给定的水平<1，湖水的污染程度达到水平所需的时间为
K(7) 对于一般P O=0，对于给定的水平<1，湖水达到污染水平所需的时间为
(8)
（4）当K=0，即没有污染物流入，这时湖水将会不断得到净化。

要把湖水污染减少到初始污染水平的百分比=P K/P O所需的时间为
(9)
情形二：设S K=a K O，0<a<1,它表明流入湖中的污染物将逐年降低（关停并转的情形），即污染状况正在逐步得到控制，于是模型将有
P K+1=(1-1/t)P K+K O a/t (10) 如果已知在初始时刻P O，那么模型（4）可以递推地解出
P K=(1-1/t)P O+ (11) 不难证明P K是k的单调减函数，并且有=O，它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断得到改善。

情形三：考虑情形一和情形二组合的情形。

在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平（水平污染，<1），将对污染源加强管理和控制。

对此将有如下的模型：
（1）若在初期的自由污染阶段，有P O=0，S K=K1，则湖水将在时段k1= （<1）达到水平的污染，即有P K= K1。

此后对污染源加强管理，上污水处理设施，处理后再排放，降低了排污量，有S K=K2< K1，刚输入有
(12) 求解可以得到它的污染状况为
(13)
根据情形一分析，如果K2被控制在达标排放，则湖水也将会达标。

（2）类似于（1），如果在控制阶段污染程度逐渐降低，采取关停并转的措施，如情形二所示，那么将有
(14) 求解可以得到它的污染状况为
(15)
根据情形二的分析，湖水最终会变清。

四模型检验
现有A，B，C三个湖水，其t分别为2.6,30.8,189(年)。

试考虑一旦污染，要想使其污染减少到一定程度所需的时间。

解：设污染停止，根据式（9），计算所得见表:
从表中数据可以看出,C湖一旦污染，要想使其污染减少一半，则需要131年，因此，一旦污染，后果不堪设想。

五模型的优缺点和改进方向
此模型的假设过于简单，忽略了很多因素，要想很好的考察湖水的污染情况，应建立更复杂或微分方程模型。

尽管如此，此模型的分析仍值得借鉴。

湖水污染的治理是非常困难的，有些机理至今还不清楚，所以很多湖水治理见效甚微.。