湖水污染问题
一.问题提出
下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；
（2）估计湖水何时到达污染高峰；
（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。

二.模型假设
1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；
2、流入流出湖水水污染浓度为常量
三.问题分析
分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

用分钟作为时间t的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。

因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。

四.模型的建立
湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量
2000*(dF/dt)=Z/
F(0)=0；
2000F’=Z/
2000F’+=Z/60
F’+2000=Z/120000
所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;
y=[]
=[（Z/120000）（2000/）*+C]
=Z/432+C*
又因为：F(0)=0
所以：C=-Z/432
所以：y=Z/432[1- ]
求得以特解为：
F（t）= Z/432[1- ]
在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。

显然是t=60时，污染达到高峰。

此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）
= *10-4Z
然后污染物被截断，故方程为：
2000*dF/dt=,
F(t)=F（60）；
当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。

F（60）=%
.=Z
(t-60)/2000=lnZ)
t=-(2000/lnZ)+60
所以：D=-(2000/lnZ)+60。