微积分基本定理导学案
【学习要求】
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
【学法指导】
微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.
【知识要点】
1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么ʃb a f(x)d x ＝．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
（1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝．
（2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝_______．
（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝.
【问题探究】
探究点一微积分基本定理
问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?
例1计算下列定积分：
（1）ʃ211x d x ； （2）ʃ31(2x －1x
2)d x ； （3）ʃ0－π(cos x －e x )d x .
跟踪训练1 计算下列定积分：
（1）ʃ1025x 4d x ； （2）ʃ31(x ＋1x
)26x d x .
探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.
先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
跟踪训练2 （1）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，
求ʃ1－1f (x )d x ； （2）求ʃa －a x 2d x (a >0)．
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0
sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54
π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．
【当堂检测】
1． (1＋cos x )d x 等于 ( ) A ．π B ．2 C ．π－2
D ．π＋2 2．若ʃa 1(2x ＋1x
)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( ) A ．5 B ．4
C ．3
D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝_______ 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，
cos x ，π2
<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .
【课堂小结】 ⎰-2π
2π
1．求定积分的一些常用技巧
（1）对被积函数，要先化简，再求积分．
（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
【教学反思】。