小学六年级数学竞赛试题及详细答案二、填空题（共40 分，每小题 5 分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□ 9□ 9□2 ）×（ 1□9□ 9□ 2）×（ 19□ 9□ 2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是 55 厘米、 25 厘米、 15 厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是 _ _厘米。

3.一排长椅共有90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有 _ _人已经就座。

4.用某自然数 a 去除 1992，得到商是46，余数是 r。

a=_ _， r=_ _。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了 25 位老人品茶。

他们的年龄恰好是龄之和正好是 2000 。

其中年龄最大的老人今年 _ ___岁。

25 个连续自然数，两年以后，这25 位老人的年6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得选手至少得 __ __分，至多得404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得__ __分。

（每位选手的得分都是整数）90 分。

那么得分最少的8.要把 1 米长的优质铜管锯成长当锯得的 38 毫米的铜管为__38 毫米和长90 毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗__段、 90 毫米的铜管为_ ___段时，所损耗的铜管才能最少。

1 毫米铜管。

那么，只有三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）分，每小题 5 分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200 米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100 米。

现由甲工程队先修（共20 3 天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6 天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

他从县城骑车出发，用 30 分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行 50 米。

又骑了 20 分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑 2 千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。

3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。

将这个长方体切成12 个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600 平方分米。

求这个大长方体的体积。

4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所多 35 本。

第 2 次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11 包。

这批书共有多少本？四、问答题（共35 分）1.有 1992 粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取证一定获胜的对策是什么？（ 5 分）1 粒，最多取4 粒，谁取到最后一粒，就算谁输。

问：保2.有一块边长 24 厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。

现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（ 6 分）3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图 13 所示的（ a）、（ b）两种形状的铁皮毛坯。

现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图 15），图 13、图 14、图 15 中的小方格都是边长相等的正方形。

金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（ a）、（ b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。

问：（1 ）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（ 3 分）（ 2）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（ 5 分）4.只修改 21475 的某一位数字，就可以使修改后的数能被225 整除。

怎样修改？（6 分）5.（ 1）要把 9 块完全相同的巧克力平均分个孩子（每块巧克力最多只能切成两，怎么分？（ 5 分）给4部分）（ 2）如果把上面（1）中的“ 4 个孩子”改为“7 个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？（ 5分）详解与说明一、计算题说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、，马上就应该知道它可以化为3.6；而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3× 36”变形为“6543×3.6”，完成了这步，就为正”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。

说明：解这道题可以从不同的角度来观察。

解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“ 1× 3× 24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。

而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘分子部分括号内三个乘积的和约去了。

本题是根据《数学之友》（7）第2 页例5 改编的。

3.解法一：解法二：说明：解法一是求等比数列前 n 项和的一般方法，这种方法本报 217 期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。

由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“ 2 倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。

二、填空题1.解：（ 1× 9×9+2）×（ 1+9-9+2）×（ 19-9-2 ）=83× 3× 8=1992或（ 1× 9× 9＋2）×（ 1× 9÷ 9× 2）×（ 19-9+2）=83× 2× 12=1992（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。

而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把 1992 分解为三个数连乘积的形式，1992=83 × 3× 2×2× 2，因为 83、 3、 2、2、 2 组成三个乘积为 1992 的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。

2.解： 55+15+25×2=120（厘米）说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。

容易判断：下底最长，应为是多少，如果腰长是15 厘米， 15× 2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，55 厘米。

关键是判断腰长四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是 25 厘米。

读者从本报 190 期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。

3.解：最少有 说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。

但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上， 也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图 16 所排出的两种情况， “●”表示已经就座的人， “○”表示空位） ”。

不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座。

（ 1）●○○●○○●⋯⋯ （ 2）○●○○●○○●○⋯⋯图 164.解法一：由1992÷ 46=43⋯⋯ 14立即得知： a=43， r=14解法二：根据带余除法的基本关系式，有1992=46a+r （ 0≤ r ＜ a ）由 r=1992-46a ≥ 0，推知 由 r=1992-46a ＜ a ，推知 因为 a 是自然数，所以 r=1992-46 ×43=14 a=43 接用 说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。

解法一是根据1992 ÷ 46 得到了 a 和 r 。

解法二用的是“估值法” 。

5.解法一：先算出这 25 位老人今年的岁数之和为2000-25 × 2=19501992 ÷ a 的商是 46，因而直 年龄最大的老人的岁数为 [1950+（ 1+2+3+4+⋯⋯ +24）]÷ 25 =2250÷ 25=90（岁） 解法二：两年之后，这 25 位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为 2000÷ 25=80（岁） 两年后，年龄最大的老人的岁数为 80+12=92（岁） 年龄最大的老人今年的岁数为 92-2=90 （岁） 说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报 241 期第一版《“削平”与“补齐” 》一文）。

当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数， 再加上 24。

解法二着眼于 25 人的平均年龄， 先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。

6.解：根据“抽屉原理” ，可知至少 7 个学生中有两人所借图书的种类完全相同。

说明：本题是抽屉原理的应用。

应用这个原理的关键是制造抽屉。

从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借 两本，共有——（史，史） 、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只 “抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。

换句话说，如果把借书的学生看作“苹果” ，那么至少 7 个 苹果放入六个抽屉， 才能有两个苹果放在同一个抽屉内。

本题是由本报 234 期“奥林匹克学校” 拦的例 2 改换而成的。

7.解：得分最低者最少得404-（ 90+89+88+87） =50（分）得分最低者最多得[404-90- （ 1+2+3） ]÷ 4=77（分）说明：解这道题要考虑两种极端情形：（1 ）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。

第一名得分是已知的（ 90 分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近 90 分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得 89 分、 88 分、 87 分时，第五名得分最少。

（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。

考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。

本题是根据《数学之友》（ 7）第46 页第8.解：设 38 毫米、 90 毫米的铜管分别锯38X+90Y+（ X+Y-1）=1000 13 题改编的。

X 段、 Y 段，那么，根据题意，有39X+91Y=1001要使损耗最少，就应尽可能多锯90 毫米长的铜管，也就是说上面式中的X 应尽可能小，Y 尽可能大。