2
2
3
3
0
3
已知m n, 求 （m n） （n m） 的值
二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出 其平方根；若没有，说明理由。 ①625 ②（－2）2 ③（－1）3 （2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立 方根。 2 1 ① ②－343 ③
4、考查实数的化简与运算 1、化简 40 的结果是（ B ） A．10 B．2 10 C．4 5 D．20 2、已知2： 20n 是整数，则满足条件的最小正整数为 （D ） A．2 B．3 C．4 D．5
3、下列各数中， 与
2 3
的积为有理数的是（D
）
A
2 3
B
2 3C 2 3
1 ＝ 1
1、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号 的数一定是有理数；③负数没有立方根；④ 17 是17的平方 根。其中正确的有（ B ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 2、下列各式中，正确的是（D ） A. (2) 2 2 B. 32 3 C. 3 9 3 D. 9 3
变式：若
2x y x 9
2
3 x
求3x+6y的立方根。
2x y 0 解析：由题意可知： 2 9 0 x 又因为 3 x 0
0
所以x=-3 y=6
代入得：
3
3x 6 y 3 27 3
考点5 数形结合题
例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示： 试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜
1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 4
1 10 9
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中 两个式子的差。
解：（1）
1 n n 1

n 1 n
（2）原式=
2 1 3 2 4 3 5 4 10 9
11.a2的算术平方根是a.
a
12.若 (a) 2 5 , 则a=-5.
5
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数；
（5）无理数都是实数;
（6）没有根号的数都是有理数.
下列说法正确的是（B ）
A. 16的平方根是 4
27
2
考点2 实数的分类与性质
例2、把下列各数分别填入相应的集合内： 1 5 3 , 2, , , 7, 2, 4 2
20 , 3 4 , 9
0,
5,
3 8,
0.3737737773
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）

有理数集合

无理数集合
例3.求下列各数值
2 1 的相反数是1 2；
说明：这类题目需要我们细心观察及思考， 探究其中的规律，寻找解决问题的途径
三、易错点例析 1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
例1 （1）求
1 6 4
的平方根 __ 的算术平方根 ____
(2) 求
81
（3）求－27的立方根 ———
2、忽略平方根成立的条件 例3 当m取何值时，
m
（2）不一定等于a.规律：当a≥0时 当a≤0时 a 2 =－a.
(3)、 类似于0.0100100010 0001
平方根与立方根的概念错解剖析 1．36的平方根是6．
6
1 1 2． 的算术平方根是± 2 4
3．0.01是0.1的平方根 4．
1 2
0.1是0.01的平方根源自81 的平方根是±9． 3
5.若x2=9, 则 x=3．
3
6. 16 =±4．
4
平方根与立方根的概念错解剖析 7．算术平方根等于本身的数是0． 0和1 8．平方根等于本身的数是1和0． 0 9．8的立方根是±2． 2 10．立方根等于本身的数是1和0．0 1 -1
4 x 25
2
1 2 y 2 或y 3 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
解下列方程：
x 8
3
x 2
2 x 128
3
x4
y 2
（y 3） 125
3
2 3 27 （x ） 125 0 3
x 1
当方程中出现立方时，一般都有一个解
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
算术平方根、平方根、立方根--联系和区别
算术平方根 表示方法 平方根 立方根
3
a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
.
D
3
4、计算：
2 6 3
（5）计算
的结果是（D ） 1 12( 75 3 48} 3 B． 4
A． 6
3
C． 2
36
D．12
（6）下列计算错误的是( D ) A、
14 7 7 2
B、
60 5 2 3
C 、
9a 25a 8 a
D、
3 2 2 3
《实数》随堂小测
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么 这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根． a的平方根记为± a
3.平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
3.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那 么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的 三次方根．记作 3 .a 其中a是被开方数，３是根指数，符号 ３ ”读做“三次根号”． “
比较大小
(1) 26
3
< 3;
(2) 63
＞ -8;
10 1 (3) 4
＞ 0.5;
掌 握 规 律
a a=
2
a
a
3
2
a
a
0
a 0 a 0
a 0
3
(a 0)
3
a a
3
a a
3
3
-a a a为任何数
3
已知a o, 求 a a 的值
乘方
互 为 逆 运 算
有理数
开方
实数
无理数
平方根
立方根
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x 的平方等于 a,即 x =a,那么这个 正数x 叫做a的 算术平方根。
2
a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是0。
记作： 0 0
2. 平方根的定义：
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
2
8是 64
的平方根
64的平方根是 ±8
不 要 搞 错 了
64的值是 8
64的平方根是
8
4
64的立方根是
解下列方程：
x 196
2
x 14
5 x 2
x 2 3或x 2 3
不 2 要 （x 2） 3 遗 2 9(3 y) 4 漏
16
4 的平方根是 ———— ． 0.1 ————
（3）(遵义市)8的立方根是 2 （4）(永州市)
3
0.001
（5）（南宁市）若 ( x 1)2 1 0 ，则x的值等于 ———— 0或-2
2、考查实数的有关概念及实数大小的比较
（1）如图，在数轴上，A,B两点之间表示整数 Ａ 的点有 个 4 3 （2）在数轴上与 3表示的点的距离最近的整 数点所表示的数是 2 ．
x 1 3( y 2) 0
2
分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不 是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的 绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常 重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。 利用这个性质可解本题， 解：由题意，得x-1=o，y-2=0，即，x=1、y=2，所以。故选 （D）。
76 3、估计 A.7～8之间 C. 8.5～9.0之间
的大小应在(C ) B.8.0～8.5之间 D. 9.0～9.5之间
4、若m是9的平方根，n= 3 ，则m、n的关系是（ C ） （A）m=n （ B）m=－n （C）m=±n （D）｜m｜≠｜n｜

2
5、已知， 5.28 1.738 ，
2
3 ____
0.7 2 0.7 ____
1 ( ) 2 1/2 ____ 2
-6 ( 6) 2 ____ 0.28 (0.28) 2 ____
02 0 ____
2 a （2）根据（1）中的计算结果可知， 一定等 于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语 言描述出来。 3.14 （3）利用上述规律计算： (3.14 ) 2 = 。
3
3
a 0.1738
则a的值为（ C ） （A）0.528 （B）0.0528 （C）0.00528 （D）0.000528 二、细心填一填 1、满足 的整数是 －1 0 1 ．
2x 3
2、若
x 1 y 3 0
－1 则x=________ ，y=________. 3
3、一个正数x的平方根是2a-3与5-a，则a的值为 ____________ ． －2