空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O 叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点 M 的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y， z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x，y，z），其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2,4）．[例 2] 长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝a ，|BC|＝b ，|CC 1| ＝c ，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置 （如图 3），分 别写出长方体各顶点的坐标．变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中 的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5 的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同 位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 P －ABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系，（1）写出正四棱锥 P －ABCD 各顶点坐标； （2）写出棱 PB 的中点 M 的坐标．解： 连接 AC ，BD 交于点 O ，连接 PO ，∵ P －ABCD 为正四棱锥，且棱长均为 2a.∴四边形 ABCD 为正方形，且 PO ⊥平面 ABCD.∴OA ＝ 2＝ PA 2－OA 2＝ 2a 2－ 2a 2＝ 2a.以O 点为坐标原点， OA ，OB ，OP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系．（1）正四棱锥 P －ABCD 中各顶点坐标分别为 A （ 2a,0,0），B （0，2a,0），C （－ 2 a,0,0）， D （0，－ 2a,0）， P （0,0， 2a ）． 0＋0 2a ＋ 0 0＋ 2a（2）∵M 为棱 PB 的中点，∴由中点坐标公式，得 M （ 2 ， 2 ， 2 ），[ 例 3] 在空间直角坐标系中，点 P （－2,1,4）．（1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标； （2）求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标；（3）求点 P 关于点 M （2，－ 1，－ 4）的对称点的坐标．[解] （1）由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y轴、z 轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点为 P 1（－2，－1，－4）．即 M(0（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2（－2,1，－4）．（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M 为线段PP3 的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，所以P3（6，－3，－12）．变式： 1.写出点P（6，－2，－7）在xOy 面，yOz面，xOz 面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P 在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P 关于xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面的对称点分别为点A′ ，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB ⊥平面yOz，PC ⊥平面xOz 及坐标平面的特征知，点A（6，－2,0），点B（0，－2，－7），点C（6,0，－7）；根据点P 关于各坐标平面对称点的特征知，点A′（6，－2,7），B′（－6，－2，－7），C′（6,2，－7）．2.在棱长都为 2 的正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，建立恰当的直角坐标系，并写出正 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 各顶点的坐标．［正解］ 取 BC ， B 1C 1的中点分别为 O ， O 1，连线 OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质， OA ，OB ，OO 1 两两互相垂直，且 |OA|＝ 23×2＝ 3，以 OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立直角坐标系，如图 5 所示，则正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(0， －1,0)， A 1( 3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－ 1,2)．空间向量在立体几何中的应用 直 线的方向向量与平面的法向量 直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量． 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线 垂直于平面α，那么称向量 n 垂直于 记作 n⊥α .此时把向量 n 叫做平面 α的法向量． 1. (1) (2) α，2. 线面关系的判定 直线 l 1 的方向向量为 面 α的法向量为 n 1＝ (x 1， 如果 l 1∥l 2，那么 如果 l 1⊥l 2，那么 若 l 1∥α，则 e 1⊥ n 1 若 l 1⊥α，则 e 1∥ n 1 若 α∥β，则 n 1∥ n 2 若 α⊥β，则 n 1⊥ n 2 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角 平面 (1)(2)(3) (4) (5) (6) e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线 l 2 的方向向量为 e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平 y 1，z 1)，平面β的法向量为 n 2＝(x 2， y 2，z 2)． e 1∥ e 2 e 2＝ λe 1 a 2＝ λ1a ，b 2＝λb 1，c 2＝λ1c ． e 1⊥ e 2 e 1·e 2＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝ 0． e 1·n 1＝ 0 a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0． e 1＝kn 1 a 1＝kx 1，b 1＝ky 1， c 1＝kz 1． n 1＝ kn 2 x 1＝ kx 2， y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． n 1· n 2＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋ z 1z 2＝0． π ①范围：两条异面直线所成的角 θ的取值范围是 0， 2 . ②向量求法：设直线 a 、b 的方向向量为 a 、b ，其夹角为 (2) 直线与平面所成的角 φ，则有 cosθ＝ |cosφ |. ①范围：直线和平面所成的角 θ的取值范围是 0，π2 . ②向量求法：设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 为 θ，a 与 u 的夹角为φ，则有 sinθ＝ |cosφ| (3) 二面角 ①二面角的取值范围是 ［0，π ］． ②二面角的向量求法： (ⅰ) 若 AB 、CD 分别是二面角 α-l- β的两个面内与棱 l 垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角 (如图 ①)．u ， 直线与平面所成的角（ⅱ） 设 n 1、n 2 分别是二面角 α-l- β的两个面 α、 β的法向量，则向量 n 1 与 n 2 的夹 角（或其补角 ）的大小就是二面角的平面角的大小 （如图②③ ）． 题型 1 空间向量的基本运算 A （ －2，0，2），B （－1，1，2），C （－ 3，0，4）．设 a ＝A →B ，b ［例 1］已知空间三点 A →C. （1） 求 a 和 b 的夹角解： ∵A （－2，0， ∴a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2）．（1）∵cosθ＝|a a |·|b b|＝－12＋×0＋50＝－ 1100，∴ a 和b 的夹角为 arccos － 1100.（2）∵ka ＋b ＝k （1，1，0）＋（－1，0，2）＝（k －1，k ，2），ka －2b ＝（k ＋2，k ， －4），且 （ka ＋b ）⊥（ka －2b ）， ∴（k －1，k ，2）·（k ＋2，k ，－4）＝（k －1）（k ＋2）＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解 5 得 k ＝－ 25或 2. 题型 2 空间中的平行与垂直 例 2 如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝ 2，AF ＝1，M 是线段 EF 的中点． 求证： （1） AM ∥平面 BDE ；（2） AM ⊥平面 BDF. 证明 ：（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设结 NE. 则 N 22， 22，0 ，E （0，0，1）， A （ 2， 2，0），M 22， 22，1 .∴ N →E ＝ － 2，－ 2， 1 .－ 2 ，－ 2 ， 1 ∴ N →E ＝A →M 且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM.∵ NE 平面 BDE ，∴ AM ∥平面 BDE. （2） 由（1）知A →M ＝ － 22， θ；（2）若向量 ka ＋b 与 ka －2b 互相垂直，求 k 的值． 2），B （－1，1，2），C （－3，0，4），a ＝A →B ，b ＝A →C ， AC ∩BD ＝N ，连 2， 2， 22，1 ， A →M ＝ 平面 BDE ，AM ?22， 1 ，∵ D （ 2，0，0）， F （ 2， 2，1），∴ D →F ＝ （0， 2，1）， ∴ A →M ·D →F ＝ 0，∴ AM 平面 BDF. 题型 3 空间的角的计算 例 3 （2013·苏锡常镇二模 ）如图，圆锥的高 PO ＝4，底面半径 OB ＝2，D 为 PO 的中点， E 为母线 PB 的中点， F 为底面圆周上一点，满足 EF ⊥DE. （1） 求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值； （2） 求二面角 F-OD-E 的正弦值．⊥DF.同理 AM ⊥BF. 又 DF ∩ BF ＝ F ，∴ AM ⊥ 解： （1） 以 O 为原点，底面上过 O 点且垂直于 OB 的直线为 x轴， OB 所在的线为 y 轴， OP 所在的线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B （0，2，0），P （0， 0，4），D （0，0，2），E （0，1，2）．设 F （x 0，y 0，0）（x 0>0，y 0>0），且 x 02＋ y 02＝4，则E →F ＝（x 0，y 0－1，－ 2），D →E ＝ （0，1，0），∵ EF ⊥ DE ，即 E →F ⊥D →E ，则 E →F ·D →E ＝y 0－1＝0，故 y 0＝1.∴ F（ 3，1，0），E →F ＝（ 3，0，－ 2），B →D ＝（0，－2，2）．n 1⊥OD ， （2） 设平面 ODF 的法向量为 n 1＝ （x 1，y 1，z 1），则 →n 1⊥O →F ，令 x 1＝ 1，得 y 1＝－ 3，平面 ODF 的一个法向量为 n 1＝（1，－ 3， 0）．设 平面 DEF 的法向量为 n 2＝ （x 2，y 2，z 2），同理可得平面 DEF 的一个法向量为 n 2＝ 1， 0， 23. 设二面角 F-OD-E 的平面角为 β，则 |cosβ|＝ n|n1·||n n2|＝ 17＝77.∴ sinβ＝ 42（翻折问题）例 4. （2013 广东韶关第二次调研 ）如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知 ∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起， 使平面 ABD ⊥平面 BDC （如图乙），设点 E 、F 分别为棱 AC 、AD 的中点．（1） 求证： DC ⊥平面 ABC ； （2） 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值；（3） 求二面角 B －EF －A 的余弦值．解：（1） ∵ 平面 ABD ⊥平面 BDC ，又∵ AB ⊥BD ，∴ AB ⊥平面 BDC ，故 AB ⊥DC ，又 ∵ ∠C ＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC í ABC 平面 ABC ， DC ? 平面 ABC ，故 DC ⊥平面 ABC.（2） 如图，以 B 为坐标原点， BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如 下图示，设 CD ＝ a ，则 BD ＝AB ＝ 2a ，BC ＝ 3a ，AD ＝2 2a ，可得 B （0，0，0），D （2a ， 3 3 → 1 3 →0，0），A （0 ，0，2a ），C 2a ， 2 a ，0 ，F （a ，0，a ），∴ C →D ＝ 2a ，－ 2 a ，0 ，B →F＝（a ，0，a ）．设 BF 与平面 ABC 所成的角为 θ，由 （1）知 DC ⊥平面 ABC ，设异面直线 EF 与 BD 所成角为 α，则 cosα＝ E →F ·B →D ＝ 4 ＝ 14|E →F||B →D| 7×2 2 7z 1＝0，3x 1＋ y 1＝π ∴ cos2－1a2C→D·B→F 2a 2 2 θ＝＝＝，∴ sinθ＝ .(3) 由(2)FE⊥平面ABC, 又∵ BEì平面ABC ，AE ì平面FE⊥ BE，FE⊥ AE ，11∴ ∠ AEB 为二面角 B －EF －A 的平面角 .在△ AEB 中，AE ＝BE ＝2AC ＝2 AB 2＋BC 2＝ 27a ，－1.－7.课后巩固练习： 1.（2013 ·江苏卷 ）如图所示，在直三棱柱 A 1B 1C 1－ ABC 中， AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点 D 是BC 的中点．（1） 求异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值；（2） 求平面 ADC 1与平面 ABA 1所成二面角的正弦值．解：（1） 以 A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 A －xyz ，则 A （0 ，0， 0），B （2，0，0），C （0，2，0），D （1，1，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），所以 A →1B ＝（2， 0，－ 4）， C →1D ＝ （1，－ 1，－ 4）．因为 cos 〈A →1B ，C →1D 〉＝ A →1B ·C→1D ＝ 18 ＝31010，所以异面直线1 1 |A →1B||C →1D| 20× 18 10A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为 31010.（2） 设平面 ADC 1 的法向量为 n 1＝（x ，y ，z ）， 因为A →D ＝（1，1，0），A →C 1＝（0，2，4），所以 n 1·A →D ＋y ＝0 且 y ＋2z ＝ 0，取 z ＝1，得 x ＝2，y ＝－2，所以， n 1＝（2，－2， 法向量．取平面 AA 1B 的一个法向量为 n 2＝ （0，1，0）， 设平面 ADC 1与平面 ABA 1所成二面角的大小为 θ.n 1· n 2 2 2 5由 |cosθ|＝n |n 11·||n n 22|＝ 9×2 1＝32，得 sinθ＝ 35.cos ∠ AEB AE 2＋BE 2－AB22AE ·BE171，即所求二面B － EF －A 的余弦为是AB 、5 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为3 .2. （2013 新·课标全国卷Ⅱ ）如图所示，直三棱柱ABCA 1B1C1 中，2BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝2 AB.证明：BC 1∥平面A1CD；（2）求二面角DA 1CE 的正弦值．证明：连结AC 1交A 1C于点F，则F为AC1D、E分别（1）（1）又D是AB 中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF ì 平面A1CD，BC1? 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2） 由 AC ＝CB ＝ 22AB 得 AC ⊥ BC. 以 C 为坐标原点，C →A 的方向为 x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.设 CA ＝ 2，则 D （1，1，0），E （0，2，1），A 1（2，0，2），C →D ＝（1，1，0），C →E ＝（0，2，1），C →A 1＝（2，0，2）．n ·C →D ＝ 0， x 1＋y 1＝ 0，设 n ＝（x 1，y 1，z 1）是平面 A 1CD 的法向量， 则 即n ·C →A1＝0， 2x 1＋2z 1＝0.可取 n ＝（1，－ 1，－ 1） ．C →E ＝0，→ 可取 m ＝（2，1，－ 2）． C →A 1＝ 0.从而 cos 〈n ，m 〉＝|n n ·||m m|＝ 33，故 sin 〈 n ，m 〉＝ 36.即二面角D-A 1C-E 的 正弦值为 36.3. （2013 ·重庆）如图所示，四棱锥 PABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，BC ＝CD 2，AC ＝4，π∠ACB ＝∠ ACD ＝ 3 ，F 为PC 的中点， AF ⊥PB. （1） 求 PA 的长；（2） 求二面角 B-AF-D 的正弦值．解：（1） 如图，连结 BD 交 AC 于 O ，因为 BC ＝ CD ，即 △BCD 为等腰三角 形，又 AC 平分 ∠BCD ，故 AC ⊥BD.以 O 为坐标原点， O →B 、O →C 、A →P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z π 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz ，则 OC ＝ CDcos 3＝1，而 AC ＝4，得 AO ＝ AC －OC ＝ 3.又 OD ＝CDsin π3 ＝ 3，故 A （0，－3，0），B （ 3，0，0），C （0， 1，0），D （ － 3，0，0）．因为PA ⊥底面ABCD ，可设P （0，－3，z ），由F 为PC 边中点，得F0，－1，z2， → z → → →z 2又A →F ＝ 0，2，2 ，P →B ＝（ 3，3，－z ），因 AF ⊥PB ，故A →F ·P →B ＝0，即 6－ 2＝ 0，z ＝2 3（舍去－ 2 3），所以 |P →A|＝ 2 3.（2） 由（1）知A →D ＝（－ 3， 3， 0），A →B ＝ （ 3，3，0），A →F ＝（0，2， 3）．设平 面 FAD 的法向量为 n 1＝ （x 1，y 1，z 1），平面m 同理，设 m 为平面 A 1CE 的法向量，则mFAB 的法向量为n2＝（x2，y2，z2）．由n1·A→D ＝0，n1·A→F＝0，－ 3x 1 ＋3y 1＝0， 得 因此可取 n 1＝（3， 3，－ 2）． 2y 1＋ 3z 1＝ 0， 0， 3x 2＋3y 2＝0， 得 故可取 n 2＝ （3，－ 3，2）．从而向量 2y 2＋ 3z 2＝ 0， n 1· n 2 1 为 cos 〈n1，n2〉＝ |n 1|·|n 2|＝8.故二面角 B-AF-D 的正弦值为 387.4. （2013 连·云港调研 ）在三棱锥 SABC 中，底面是边长为 由 n 2·A →B ＝0，n 2·A →Fn 1，n 2 的夹角的余弦值在底面 ABC 上的射影 O 恰是 AC 的中点，侧棱 SB 和底面成 45°角． SD （1） 若 D 为侧棱 SB 上一点，当 D S B D为何值时， CD ⊥AB ； （2） 求二面角 S-BC-A 的余弦值大小． 解：以O 点为原点， OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为 z 轴建立空间直角坐 标系 O-xyz.由题意知 ∠SBO ＝45°，SO ＝（0，0，0），C （0， 3，0），A （0 ，－ 3， 0），S （0，0，3），B （3，0，0）． （1） 设B →D ＝ λB →S （0≤ λ≤ 1），则 O →D ＝（1＋λ）O →B ＋λO →S ＝（3（1＋λ），0，3λ）， 所以 C →D ＝（3（1－λ），－ 3， 3λ）．因为 A →B ＝ （3， 得λ＝23. 故D S B D ＝12时， （2） 平面 ACB 3，0），CD ⊥AB ，所以 C →D ·A →B ＝9（1－λ）－3＝0，解 CD ⊥AB. 的法向量为 n 1＝（0，0，1），设平面 SBC 的法向量 n 2＝ （x ， → → 3x － 3z ＝0， y ，z ），则 n 2· S →B ＝ 0， n 2· S →C ＝ 0，则 解得 3y － 3z ＝ 0， x ＝z ， y ＝3z ，3，1）， 所以 cos 〈n 1，n 2〉＝ 3×0＋1×0＋1×1＝55.12＋12＋（ 3） 2·1又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为5. 在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， AA 1＝ E 、 F 分别是棱 B 1B 、DA 的中点．（1） 求二面角 D 1-AE-C 的大小；（2） 求证：直线 BF ∥平面 AD 1E. （1） 解：以 D 为坐标原点， 直角坐标系如图．2 3 的正三角形，点 取 n 2＝ （1， DA 、 DC 、DD 15. 5.则相应点的坐标分别为 D 1（0，0， 2），A （1，0，0）， C （0，1，0），E （1，1，A →E ＝（1，1，1）－（1，0，0）＝（0，1，1），1）， ∴ ED 1 ＝（0， 0，2）－（1，1，1）＝（－1，－1， 1），A →C ＝（0，1，0）－（1，0， 设平面 AED 1、平面 AEC 的法向量分别为E →D 1·m ＝0， 由 → 1 A →E ·m ＝0 －c ＋d ＝0，T0）＝（－1，1，0）． m ＝（a ，b ，1）， ∴m ＝（2，－1， － a －b ＋ 1＝0， T b ＋1＝0 c ＝－1， d ＝1），n ＝（－1，－1，1），∴cos m ， a ＝2， b ＝－， n ＝（c ，d ，1）． A →C ·n ＝ m ·n －2＋1＋1＝ ＝|m| ·|n|＝6× 30，∴二面角 D 1AEC 的大小为 90°.（2） 证明：取 DD 1的中点 G ，连结 GB 、GF. ∵E 、F 分别是棱 BB 1、AD 的中点，BE ∥D 1G 且 BE ＝D 1G ，∴四边形 BED 1G 为平行四边形， ∴ GF ∥ AD 1， ∴D 1E ∥BG. 又 D 1E 、 D 1A 平面 AD 1E ，BG 、GF 平面 AD1E ，∴ BG ∥平面 AD 1E ，GF ∥平面 AD 1E.∵GF 、 ∵BFGB ì平面 BGF ，∴平面 BGF ∥平面 AD 1E. 平面 AD 1E ，∴直线 BF ∥平面 AD E. BF ∥平面 AD 1E ， 可）6. （2013 苏·州调研 ）三棱柱 ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空已知 AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是 BC 的中点．（1） 求直线 DB 1与平面 A 1C 1D 所成角的正弦值； （2） 求二面角 B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：（1） 由题意， A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），D （1，2，0）， A 1（0，0，3），B 1（2，0，3），C 1（0，4，3）.A →1D ＝（1，2，－3），A →1C 1＝（0，4， 0）. 设平面 A 1C 1D 的一个法向量为 n ＝ （x ，y ，z ）．∵ n ·A →1D ＝ x ＋2y －3z ＝0，n ·A →1C 1 ＝4y ＝0.∴ x ＝ 3z ，y ＝ 0.令 z ＝1，得 x ＝＝ （3 ，0，1） ．设直线 DB 1与平面 A 1C 1D 所成角 为 θ，∵ D →B 1＝（1，－2，3）， ∴ sinθ＝ |cos 〈D →B1 3 35.35 .n 〉3× 1＋ 0× （－ 2）＋ 1×3 10× 14（2） 设平面 A 1B 1D 的一个法向量为 m＝（a ， A →1B 1＝（2，0，0），∵ m ·A →1D ＝a ＋ 2b －3c ＝0， ∴ a ＝0， 2b ＝ 3c.令 c ＝ 2，得 b ＝＝ （0，3， 2）． 设二面角 B 1A 1DC 1 的大小为 α，|m ·n| |0× 3＋3×0＋2×1| 2∴ |cosα |＝ cos 〈| m ，n 〉|＝|m| |·m|3 455.65 .∴ 二面角 B 1A1DC1 的正弦值为3 455.657. （2013 南·通二模 ）如图，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面 ABC ，AB ⊥ AC ， 且 AB ＝ AC ＝ A 1B ＝ 2.（1） 求棱 AA 1与 BC 所成的角的大小；（2） 在棱 B 1C 1 上确定一点 P ，使二面角 P －AB －A 1 的平面角的余弦值 为2 5.5.解：（1） 如图， 以 A 为原点建立空间直角坐标系， 则 C （2，0，0），B （0， 2，0），A 1（0，2，2），B 1（0，4，2），A →A 1＝（0，2，2），B →C ＝B →1C 1＝（2，－2，0）．cos→ →A →A 1·B →C － 4 〈A →A 1， B →C 〉＝ ＝|A →A 1|·|B →C| 8·8（2） P 为棱 B 1C 1中点，设B →1P ＝λB →1C 1＝（2λ，－2λ，0），则 P （2λ，4－ 2λ， 2）． 设平面 PAB 的法向量为 n 1＝（x ， y ， z ），A →P ＝ （2λ， 4－ 2λ， 2）， n 1·A →P ＝0， λx＋2y － λy＋ z ＝ 0， z ＝－ λx，则n1·A→B ＝0.2y ＝0. y ＝0.故 n 1＝（1，0，－ λ），n 1·n 2 而平面13× 10 ＝ 65，则 sinα＝ 65＝ 11＋1π 21，故 AA 1与棱 BC 所成的角是b ，c ）．m ·A →1B 1＝2a ＝，ABA 1 的法向量是n2＝（1，0，0），则cos〈n1，n2〉＝|n1|·|n2 255，解得λ＝21，即P 为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16 题】（14 分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2 ，CE＝EF＝1.（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小．1【答案】 设 AC 与 BD 交与点 G 。