2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷一．选择题（共8小题）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．2．某企业一个项目的总投资为4 170 000元．4 170 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.417×107B．4.17×106C．4.17×107D．41.7×1053．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．50°B．60°C．65°D．80°6．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）A．米B．米C．米D．米7．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，用直尺和圆规在边AD上确定一点E，使AE＝AB，则下列作法错误的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上，AB∥x轴，∠ACB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AB的中点M．若点A（0，4）、C（2，0），则k 的值为（）A．16B．20C．32D．40二．填空题（共6小题）9．﹣＝．10．分解因式：ab﹣b2＝．11．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．12．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．13．如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上，记为A1，折痕为DE．再将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1．若AD ＝1，则AB的长为．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点B，点A在抛物线上，点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，过点A作x轴的平行线交抛物线于点E．若点A、D的横坐标分别为1、﹣1，则线段AE与线段CB的长度和为．三．解答题（共10小题）15．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．16．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，利用树状图或者列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰三角形ABM，画出的△ABM的面积是．（2）在图②中以线段CD为边画一个四边形CDEF，使∠FCD+∠EDC＝90°．18．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝∠CBD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若∠C＝35°，AB＝6，求的长（结果保留π）．19．某玩具厂计划加工2700个玩具，为了尽快完成任务，实际每天加工玩具的数量是原计划的1.2倍，结果提前3天完成任务．求该玩具厂原计划每天加工这种玩具的数量．20．在新冠病毒疫情防控期间，某校“停课不停学”，开展了网络教学．为了解九年级学生在网络学习期间英语学科和数学学科的学习情况，复课后从九年级学生中随机抽取60名学生进行了测试，获得了他们成绩（百分制）的数据，通过对成绩数据的整理、描述和分析，得到了如下部分信息．①英语成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ≤100．）②英语和数学成绩的平均数、中位数、众数如表：学科平均数中位数众数英语74.8m83数学72.27081③英语成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70 71 72 73 73 73 74 76 77 77 77 78 79 79根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值是．（2）在此次测试中，李丽的英语成绩为74分，数学成绩为71分，该名学生成绩排名更靠前的学科是．（填“英语”或“数学”），理由是．（3）若该校九年级共有500名学生，请你估计英语成绩超过77.5分的人数．21．甲、乙两人开车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点旅游，甲出发半小时后，乙以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）甲行驶的速度是千米/小时．（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求甲车出发多长时间两车相距75千米．22．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，∠FDM的大小为度．【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．24．已知函数y＝（n为常数）．（1）当n＝1时，①点P（﹣3，m）在此函数图象上，求m的值．②当﹣4≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值．（2）当x＜n时，若此函数的图象与坐标轴只有两个交点，求n的取值范围．（3）若n＞0，当此函数的图象与以A（0，3）、B（5，﹣2）、C（﹣5，﹣2）、D（﹣5，3）为顶点的四边形的边有且只有四个公共点时，直接写出n的取值范围．2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】根据绝对值的定义，﹣3的绝对值是指在数轴上表示﹣3的点到原点的距离，即可得到正确答案．【解答】解：|﹣3|＝3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．2．某企业一个项目的总投资为4 170 000元．4 170 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.417×107B．4.17×106C．4.17×107D．41.7×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将4 170 000用科学记数法表示为：4.17×106．故选：B．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，再得出选项即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣1，又∵不等式②的解集是x≤1，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：，故选：A．4．由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面所看到的图形即可，注意所看到的棱都应在俯视图中．【解答】解：从上面看有3个正方形，故选：B．5．如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．50°B．60°C．65°D．80°【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．【解答】解：∵l∥OB，∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC＝65°，∴∠2＝∠BOC＝65°．故选：C．6．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）A．米B．米C．米D．米【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．由题意AB＝AC，BC＝4+0.2+0.2＝4.4（m），∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝2.2（m），∴AC＝AB＝＝＝（m），故选：D．7．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，用直尺和圆规在边AD上确定一点E，使AE＝AB，则下列作法错误的是（）A．B．C．D．【分析】由作图可知选项A，B，D中，可以证明AB＝AE，由此判断即可．【解答】解：A、由作图可知，AB＝AE，本选项不符合题意．B、由作图可知，∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，本选项不符合题意．C、由作图可知，四边形ABCE是等腰梯形，∴AB＝EC，推不出AB＝AE，故本选项符合题意．D、由作图可知，AF平分∠BAE，AF⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，故本选项不符合题意．故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上，AB∥x轴，∠ACB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AB的中点M．若点A（0，4）、C（2，0），则k 的值为（）A．16B．20C．32D．40【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC∽△CDB，求得CD，得出M点坐标，便可求得结果．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图，∵AB∥x轴，A（0，4），C（2，0），∴OA＝BD＝4，OC＝2，∵∠AOC＝∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝∠OCA+∠DCB＝90°，∴∠OAC＝∠DCB，∵∠AOC＝∠CDB＝90°，∴△AOC∽△CDB，∴，即，∴DC＝8，∴AB＝OD＝2+8＝10，∵M是AB的中点，∴AM＝5，∴M（5，4），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AB的中点M，∴k＝5×4＝20．故选：B．二．填空题（共6小题）9．﹣＝．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．10．分解因式：ab﹣b2＝b（a﹣b）．【分析】根据提公因式法，可得答案．【解答】解：原式＝b（a﹣b），故答案为：b（a﹣b）．11．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为6．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4k＞0，解得k＜，所以k可取的最大整数为6．故答案为6．12．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压32cm．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知：△APM∽△BPN；∴＝，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为5：1，∴＝，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．故答案为：32．13．如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上，记为A1，折痕为DE．再将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1．若AD ＝1，则AB的长为．【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A1DE＝∠A1DC＝30°，∠C＝∠A1B1D＝90°，推出△DB1A1≌△DCA1，CD＝B1D，设AB＝DC＝x，由DE长度列出方程求得x便可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A1ED，△A1BE≌△A1B1E，∠A1B1E＝∠B＝∠A1B1D＝90°，∴∠AED＝∠A1ED，∠A1EB＝∠A1EB1，BE＝B1E，∴∠AED＝∠A1ED＝∠A1EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A1DE＝90°﹣∠A1EB1＝30°，∴∠ADE＝∠A1DE＝∠A1DC＝30°，又∵∠C＝∠A1B1D＝90°，DA1＝DA1，∴△DB1A1≌△DCA1（AAS），∴DC＝DB1，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝1，∴AE＝，DE＝设AB＝DC＝x，则BE＝B1E＝x﹣∵B1E+B1D＝DE，∴x+x﹣，∴，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点B，点A在抛物线上，点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，过点A作x轴的平行线交抛物线于点E．若点A、D的横坐标分别为1、﹣1，则线段AE与线段CB的长度和为4．【分析】求得B的纵坐标为4，然后根据题意求得A的纵坐标2，即可得到5﹣m＝2，求得m的值，得到抛物线为y＝x2﹣3x+4，根据坐标特征求得B、A、E的坐标即可求得结果．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∵BC∥x轴，∴点B的纵坐标为4，∵点A的横坐标为1，把x＝1代入y＝x2﹣mx+4得，y＝5﹣m，∴A（1，5﹣m），∵点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，∴AD＝AB，∴点A的纵坐标为2，∴5﹣m＝2，解得m＝3，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，∴B（3，4），∴BC＝3，把y＝2代入y＝x2﹣3x+4得，2＝x2﹣3x+4，解得x＝1和2，∴AE＝2﹣1＝1，∴线段AE与线段CB的长度和为4，故答案为4．三．解答题（共10小题）15．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝，当x＝﹣3时，原式＝﹣．16．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，利用树状图或者列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：根据题意列表如下：黄红红红（黄，红）（红，红）（红，红）红（黄，红）（红，红）（红，红）白（黄，白）（红，白）（红，白）由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为．17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰三角形ABM，画出的△ABM的面积是7.5．（2）在图②中以线段CD为边画一个四边形CDEF，使∠FCD+∠EDC＝90°．【分析】（1）根据AB＝5，构造等腰△ABM，使得AB＝BM即可．（2）根据要求画出图形即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，△ABM即为所求．S△ABM＝×5×3＝7.5．故答案为7.5．（2）如图，四边形CDEF即为所求．18．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝∠CBD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若∠C＝35°，AB＝6，求的长（结果保留π）．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠A+∠ABD＝90°，证出∠ABC＝90°，即可得出结论；（2）连接OD，证出∠ABD＝∠C＝35°，由圆周角定理得出∠AOD＝2∠ABD＝70°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠CBD，∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线．（2）解：连接OD，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝90°，又∠A+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C＝35°，∴∠AOD＝2∠ABD＝70°，∵直径AB＝6，∴OA＝3，∴的长＝＝．19．某玩具厂计划加工2700个玩具，为了尽快完成任务，实际每天加工玩具的数量是原计划的1.2倍，结果提前3天完成任务．求该玩具厂原计划每天加工这种玩具的数量．【分析】设该玩具厂原计划每天加工这种玩具x个，则实际每天加工这种玩具1.2x个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该玩具厂原计划每天加工这种玩具x个，则实际每天加工这种玩具1.2x 个，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解，且符合题意．答：该玩具厂原计划每天加工这种玩具150个．20．在新冠病毒疫情防控期间，某校“停课不停学”，开展了网络教学．为了解九年级学生在网络学习期间英语学科和数学学科的学习情况，复课后从九年级学生中随机抽取60名学生进行了测试，获得了他们成绩（百分制）的数据，通过对成绩数据的整理、描述和分析，得到了如下部分信息．①英语成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ≤100．）②英语和数学成绩的平均数、中位数、众数如表：学科平均数中位数众数英语74.8m83数学72.27081③英语成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70 71 72 73 73 73 74 76 77 77 77 78 79 79根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值是76.5．（2）在此次测试中，李丽的英语成绩为74分，数学成绩为71分，该名学生成绩排名更靠前的学科是数学．（填“英语”或“数学”），理由是该学生的成绩小于英语的中位数，而大于数学的中位数．（3）若该校九年级共有500名学生，请你估计英语成绩超过77.5分的人数．【分析】（1）先确定英语成绩的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两门学科的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过77.5分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵英语成绩总人数为3+7+12+14+18+6＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 72 73 73 73 74 76 77 77 77 78 79 79，∴英语成绩的中位数为＝76.5，即m＝76.5，故答案为：76.5；（2）∵该学生的成绩小于英语成绩的中位数，而大于数学成绩的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是数学，故答案为：数学，该学生的成绩小于英语的中位数，而大于数学的中位数；（3）估计英语成绩超过77.5分的人数为500×＝225人．21．甲、乙两人开车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点旅游，甲出发半小时后，乙以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）甲行驶的速度是60千米/小时．（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求甲车出发多长时间两车相距75千米．【分析】（1）根据题意结合图象列式计算即可；（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；（3）把y＝80代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5＝60（千米/小时），故答案为：60．（2）如图所示：设甲出发x小时后被乙追上，根据题意得：60x＝80（x﹣0.5），解得x＝2，即甲出发2小时后被乙追上，∴点A的坐标为（2，0），480÷80+0.5＝6.5（时），即点B的坐标为（6.5，90），设AB的解析式为y＝kx+b，由点A，B的坐标可得：，解得，所以AB的解析式为y＝20x﹣40（2≤x≤6.5）；（3）根据题意得20x﹣40＝75或60x＝480﹣75，解得x＝或答：甲车出发小时或小时两车相距75千米．22．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，∠FDM的大小为45度．【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为2﹣2．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C1DE和∠ADF＝∠C1DF，可得∠FDM＝∠ADC＝45°；（2）先判断出∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°，进而判断出∠AMD＝45°，得出AM＝AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其△AC1C的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；故答案为：45；（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，∵AM1∥DF∴∠MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°∵∠DFM＝90°∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，∴＝AC•C1G＝×2（2﹣）＝2﹣2，故答案为：2﹣2．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为4t．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．【分析】（1）解直角三角形求出AB，根据cos A＝＝求解即可．（2）首先证明四边形APED是平行四边形，由＝，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形：①如图1中，当0＜t≤1时，②如图3中，当1＜t≤2时，分别求解即可．（4）分三种情形：①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时．③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PD⊥AC，∴cos A＝＝，∴＝，∴AD＝4t，故答案为4t．（2）如图2中，当点E落在BC上时，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴＝，∴＝，解得t＝1，∴当点E落在BC边上时，t的值为1．（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝3t，∴S＝•PD•PE＝×3t×4t＝6t2．②如图3中，当1＜t≤2时，S＝•（MN+PD）•PN＝[3t+3t﹣（10﹣5t）]•（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，综上所述，满足条件的t的值为或或1．24．已知函数y＝（n为常数）．（1）当n＝1时，①点P（﹣3，m）在此函数图象上，求m的值．②当﹣4≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值．（2）当x＜n时，若此函数的图象与坐标轴只有两个交点，求n的取值范围．（3）若n＞0，当此函数的图象与以A（0，3）、B（5，﹣2）、C（﹣5，﹣2）、D（﹣5，3）为顶点的四边形的边有且只有四个公共点时，直接写出n的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法解决问题即可．②分别求出分段函数在﹣4≤x≤3上的最大值以及最小值即可解决问题．（2）分n＞0，n＝0，n＜0三种情形画出图形分别求解即可．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当四边形ABCD与函数y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有3个交点，与函数y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有1个交点时，如图3﹣2中，当四边形ABCD与函数y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有2个交点，与函数y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有2个交点时，分别构建不等式组解决问题即可．【解答】解：（1）n＝1时，函数为y＝，①∵P（﹣3，m）在函数图象上，∴m＝﹣9+6+2＝﹣1．②当﹣4≤x＜1时，y＝﹣x2﹣2x+2，最小值为﹣16+8+2＝﹣6，最大值为﹣1+2+2＝3，当1＜x≤3时，y＝x2﹣2x+2，最小值为1﹣2+2＝1，最大值为9﹣6+2＝5，综上所述，当﹣4≤x≤3时，此函数的最大值为5，最小值为﹣6．（2）①当n＞0时，图象如图所示，当函数y＝﹣x2﹣2nx+2，x＝n时，y≥0即可满足条件，∴﹣n2﹣2n2+2≥0，解得﹣≤n≤，∵n＞0，∴0＜n≤．②当n＝0时，显然不符合题意．③当n＜0时，不存在符合条件的n的值．综上所述，满足条件的n的值为0＜n≤．（3）如图3﹣1中，当四边形ABCD与函数y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有3个交点，与函数y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有1个交点时，满足：，解得1＜n≤．如图3﹣2中，当四边形ABCD与函数y＝﹣x2﹣2nx+2（x＜n）有2个交点，与函数y＝x2﹣2nx+2（x≥n）有2个交点时，满足：，解得2.6＜n＜2.9．综上所述，满足条件的n的值为1＜n≤或2.6＜n＜2.9．。