三角函数、正弦定理、余弦定理以及不等式（均值不等式） 上课时间： 上课教师：上课重点：倍角公式、降次升角以及辅助角公式的运用，正余定理的运用，常见均值不等式上课规划：常见题型的解题技巧与方法 一 三角函数1、图像的性质以及图像的平移（1）函数23y sin(x )π=-+的递减区间是____________________。

（2）对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x=的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。

其中正确结论是______________________。

（3）对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）（A ）()f x 在（4π，2π）上是递增的 （B ）()f x 的图像关于原点对称（C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为2 （3）已知函数2()2sin23sin cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； （2）求()f x 的单调区间 （3）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.（4）已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同,那么y=f(x)的解析式为 （ ） A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π)C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)（5）函数y = sin2x+acos2x 的图象关于直线x=－8π对称,则a 的值（ ）A ．1B ．－2C ．－1D ．2金典题型1、（2009）函数22cos 14y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．（ ）4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为A ．2πB ．32π C ．π D ．2π6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为A.6π B.4π C. 3π D.2π7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，328、（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是（ ）21.+A 21.-B 12.-C 1.D解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x Rϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式； （2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值。

2、（2006）已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=，求sin 2α的值.3.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x xπ=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.二 解三角形问题（正弦定理、余弦定理） 典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k ,k ,==>且m n⋅ 的最大值是5,求k 的值.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin2sin=++C B A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A ,（1）求25169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a bB C cos ,cos 的值;(2)若227=⋅BC BA , 求边AC 的长｡5、在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积A B C S ∆的最大值｡总结：正弦定理、余弦定理、面积公式、向量的数量积的坐标运算。

三 均值不等式的运用 (1)若*,R b a ∈，则abb a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）→均值不等式(2)若R b a ∈,，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）注：两个公式运用的局限性不一样解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又541)24(--x x 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

技巧四：换元 例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

例题;求函数2254x y x +=+的值域。

基础训练 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11xy+的最小值.并求x,y 的值2.已知0,0x y >>，且191xy+=，求x y +的最小值。

变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybxa ，求y x +的最小值（3）已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.3.已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab cb a ++>++2224.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc总结;均值不等式的灵活运用5.已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应用1：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且191xy+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用2：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a+=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .四 不等式的解法 1、含绝对值的不等式（1）与不等式| x +1 |<1的解集相同的是（ ）A ．x +1<1且x +1>-1B ．x +1<-1或x +1>1C ．x +1<1或x +1>-1D ．x +1<-1 且x +1>1 (2)不等式32>+x 的解集是( )A.()+∞,1B.()5,-∞-C.()+∞,1或()5,-∞-D.()1,5- (3)不等式| x －1| > |x －2|的解集是 （） A ．}23|{<x x B ． }223|{<<x xC ．}23|{>x xD ． }2|{>x x2、形式为：0)()(0)()(><x g x f x g x f 或者型转化为0)()(0)()(><x g x f x g x f 或者或者的形式 例题：不等式322322<--+-x x x x 的解集是 （）A ．(-∞, -1)∪(1, 2)∪(3, +∞)B ．(-1, 1)∪(2, 3)C ．(-1, 1) ∪(1, 2)D ．(1, 2)∪(2, 3) 变式训练：解下列不等式45820422+-+-x x x x <3变式训练：解不等式：0322322>--+-x x x x变式训练：解不等式（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0. 3、形式为：0)()(0)()(≥≤x g x f x g x f 或者型转化为：0)(0)()(,0)(0)()(≠≥≠≤x g x g x f x g x g x f 且且’的形式 例题：解不等式03252≤---x x x变式训练：解不等式8222≤---xxx变式训练：解不等式6622≥-+--xxxx五 线性规划1、已知x , y 满足约束条件,11⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤y y x x y y x z +=2则的最大值为（ ） A ．3 B ．－3C ．1D ．232、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且3、已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y xD ．82300>+y x4、在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x 下，则目标函数y x z +=10的最优解是（ ）A ．（0，1），（1，0）B ．（0，1），（0，-1）C ．（0，-1），（0，0）D ．（0，-1），（1，0）5、已知点（x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 表示的平面区域内，则y x +的取值范围为 ．6、求目标函数y x z 1510+=的最大值及对应的最优解，约束条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+010********y x y x y x ．7、设y x z +=2，式中变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+≥≥66311y x y x y x ，求z 的最小值和最大值．7、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-02042x yx y x 所表示的平面区域。