平面向量部分常见的题型练习
类型（一）：向量的夹角问题
1.平面向量b a ,41==且满足
2.=b a ，则b a 与的夹角为
2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为
3.已知平面向量b a ,满足
424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,
5.的夹角。
与求b a ,732=+==
6.若非零向量b a ,,0).2(=+=b b a 则b a 与的夹角为 类型（二）：向量共线问题
1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x
2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ
3.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
_____
)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量
5．已知）
，（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为 （ ）
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
6．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，求实数k 的值；
7．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥c ，求c 的
坐标
8.n 为何值时，向量），（1n a =与),4(n b =共线且方向相同？
9.且),2,1(,3==b a ∥b ，求a 的坐标。
10.已知向量)2,1(,112-=-=-=c m b a ），（），，（，若（b a +）∥c ，则m=
11.已知b a ,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系
是
12. 已知向量且），（），，（,221m b a -==a ∥b ，则=+b a 32
类型（三）: 向量的垂直问题
1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为
2．已知向量=--==b b a n b n a 垂直，则与），若，（），，（211
3．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值
442==，且b a 与的夹角为3
π，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。
5.已知),1,1(),0,1(==b a 求当λ为何值时，a b a 与λ+垂直？
6.已知单位向量m m n n m ⊥-），求证：（的夹角为和23
π
7.已知,24），（=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。
8. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 9. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13 10. ）
满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（ 类型（四）投影问题
1． ，45==，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π
3．关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：
① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ；③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a
方向上的投影 ；⑤a b λ=；⑥c b =
其中正确的个数是 （ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
类型（四）求向量的模的问题
1. 已知零向量==+==b a a ，则），（2510.,12
2. 已知向量b a ,====221
3. 已知向量a )3,1(=
，=+-=b )0,2(
4
．已知向量b a -==),cos ,1(),sin ,1(θθ
5. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
（）
=-=+=BC 162 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1
6. 设向量a ，b
1==
及34=-a
，求a 3+的值
7. 已知向量b a ,
，3.,52-===b a
-+
8. 设向量a ，b
则a b a a +-⊥==2),2(,21
类型（五）平面向量基本定理的应用问题
1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ）
(A) b a 2321+-
(B)b a 2
321-- (C)b a 2123- (D)b a 2123+- 2.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101
3.设e e 21,是平面向量的一组基底，则当__________,21==λλ时，02
211=+e e λλ 4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A))2,1(),0,0(2
1-==e e (B) )7,5(),2,1(21=-=e e (C) )10,6(),5,3(21==e e (D) )4
3,21(),3,2(21-=-=e e 5. （）），则，（），，（），，（==-==c c b a 241111 (A)b a +3 (B) b a -3 (C) b a 3+- (D) b a 3+
d c d c m R m b a m d b a c b a +⊥∈-=+===平行与若为何值时）当（）
（，，的夹角为与,)2?(,1623,23.6π
类型（六）平面向量与三角函数结合题
1.已知向量(2sin ,cos )42x x m =
，(cos 4
x n =，设函数()f x m n =⋅ ⑴求函数()f x 的解析式
（2）求()f x 的最小正周期；
（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．
2. 已知322
π
πα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα。
(I)若||||AC BC =，求角α的值；
(II)当1AC BC ⋅=-时，求22sin sin(2)1tan ααα
++的值。
3. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -=
（I ）如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π
求a 的值；
（II ）若,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.
4. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2x x b x a ==,函数b a x f ⋅=)(
(1)求)(x f 的周期和单调增区间；
(2)若在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(=-，求
)(A f 的取值范围。
.cos ,2
0,1010)sin()2(;
cos sin 12
0)cos ,1(),2,(sin .5的值求若的值和）求（），（相互垂直，其中已知平面向量φπφφθθθπθθθ<<=-∈=-=b a .
)(sin tan 2cos )()2(;tan )1(0
.),2,1(),cos ,(sin .6的值域求函数的值求且已知向量R x x A x x f A n m n A A m ∈+==-== .,3,32)2(;)1.(2
1.2
sin 2cos 2sin 2cos .7的值求的面积为若的大小求角），且，（），，（的对边，，，的内角分别为，，已知c b S ABC a A n m A A n A A m C B A ABC c b a +=∆===-=∆
的取值范围。
组基底？（不能作为平面向量的一，为何值时，向量）当）（，（），）（，（已知b
a b a =≤≤=21310cos sin .8θπθθθ。