受迫振动和共振的研究
振动科学是物理学的重要组成部分。

其中受迫振动．．．．和共振．．
问题的研究，不但在理论上涉及经典和现代物理科学的发展；更在工程技术领域受到极大的重视并不断取得新的成果。

例如：在建筑、机械等工程问题中，经常须避免“共振”现象的出现以保证工程质量；但目前新研发的很多仪器和装置的工作原理又是基于各种“共振”现象的产生；在微观科学研究领域中“共振”也已成为重要的研究手段。

本实验以音叉振动系统为研究对象，用电磁激振线圈的电磁力作为驱动力使音叉起振；并以另一电磁线圈作为检测振幅传感器，观测受迫振动系统的振幅与驱动力频率之间的关系，以研究“受迫振动”与“共振”现象及其规律。

一、 实验目的
（1） 研究音叉振动系统在周期性外力作用下振幅与外力频率的关系，测绘其关系曲线，并求出系统的共振频率和系统的振动锐度（和品质因素Q 值有关的参量）；
（2） 通过改变音叉双臂同一位置处所加金属块的质量，研究系统的共振频率与系统质量的关系；
（3） 通过测量音叉的共振频率，确定未知物体的质量，以了解音叉式传感器的工作原理；
（4） 改变音叉阻尼状态，了解阻尼力对音叉系统的共振频率及其振动锐度的影响。

二、 实验原理
1． 简谐振动与阻尼振动
众所周知：弹簧振子、单摆、复摆、扭摆等振动系统在作小幅度振动，并且其所受各种阻尼力小到可以忽略的情况下，可视为简谐振动状态。

此类振动满足下述简谐振动．．．．
方程： 02022=+x dt
x d ω （1） 上式的解为：
)cos(00ϕω+=t A x （2）
以理想弹簧振子为例：其固有角频率m
K =0ω，K 为弹簧的劲度系数，m 为振动系统的有效质量，振幅A 和初位相0ϕ与振动系统的初始状态有关，系统的振动周期T =K
m πωπ220=。

即振动周期仅与系统的质量及弹簧的劲度系数有关；由此可知：理想弹簧振子的振动频率f=m K T π
211=。

但是，实际的振动系统存在各种阻尼因素。

仍以弹簧振子为例：其振动幅度在摩擦力（空气阻力、内力等）的阻尼下会逐步减小直到零——即阻尼振动．．．．
状态。

摩擦力的大小通常与振动速率有关，在多数情况下其大小与速率成正比而方向相反，可以dt
dx b −表述。

由牛顿第二定律ma F =给出的阻尼运动方程可以表示为：22dt
x d m dt dx b Kx =−−。

则相应的阻尼振动．．．．方程则为：
022022=++x dt dx dt
x d ωβ （3） 式中β=m
b 2为阻尼系数，此方程的解为： )cos('i t t Ae
x ϕωβ+=− （4） 220'βωω−= （5）
（4）式中的振幅A 和初位相i ϕ仍由振动系统的初始状态而定。

由上述两式可知：存在阻尼力的情况下（0≠β时），振动系统的位移x 随着时间的延长趋于零；振动系统的固有角频率'ω变小，因而振动周期'2ωπ
=T 变长。

故严格意义上：阻尼振动不是周期运动．．．．．．．．．．。

其振动的振幅与时间关系如图1所示：
2． 受迫振动与共振
对于任何一个振动系统，摩擦阻尼力是客观存在的，只能尽量减小而无法消除。

因此，实际的振动物体如果没有能量的不断补充，振动最后总是要停止的。

在实践中，为了获得稳定的振动，必须对振动系统施加一个周期性驱动力。

物体在周期性外力的持续．．作用下发生的振动称为受迫振动．．．．。

如果，此驱动力是按照简谐振动规律变化的，经过一段时间后，振动系统的稳定状态将满足简谐振动态。

如周期性驱动力表述为t F m ωcos ，
其中m F 为外力最大值，而ω为驱动力的振动角频率。

如果此驱动力作用于前面所述阻尼谐振子系统时，该系统的振动方程和通解可以分别表述为：
t m F x dt dx dt
x d m ωωβcos 22022=++ （6） )cos()cos('j m i t t A t Ae x ϕωϕωβ−++=− （7）
通解（7）式由两部分构成：前一项为瞬态振动——由于阻尼的存在，其振幅不断衰减而趋于零；一般在时间t >>τ之后（τ为阻尼振动的初始振幅A 衰减到其1−e 时所需时间），通常只考虑后面一项的影响。

其中 2222204)(/ωβωω+−=m
F A m m （8） 2202arctan ωωβω
ϕ−=j （9）
由（8）、（9）式分析可知：稳态解的振幅m A 及相位差j ϕ的量值取决于驱动力m F 、驱动角频率ω、振动系统的固有角频率0ω和阻尼系数β；但由（7）式的第二项可知：系统稳态的振动频率与驱动力频率．．．．．．．．．．．．．．．相同．．
，而与振动系统的固有角频率0ω无关。

在系统的阻尼系数β=0（理想系统）的情况下，如果驱动力的角频率ω与系统的固有角频率0ω相差很远，受迫振动的振幅m A 很小；当驱动力角频率ω→0ω时，m A 将趋于无穷大。

但是，当系统的振幅m A 大得超出弹性限度（K F x m /max =）时，虎克定律已不再适用，（7）式将不再成立，这样的系统常常遭受破坏。

例如：1940年7月建成通车的美国华盛顿州普热海峡的塔科麦桥，四个月后就在持续大风的作用下，由于振动作用力的破坏而坍塌。

实际的振动系统总存在一定的摩擦力（其阻尼系数0≠β），则ω存在某一特征值，当驱动力角频率达到这一特征值时，振动系统的振幅达到最大值。

这一现象被称作共振．．
，共振现象发生时的驱动频率ω就是所谓共振频率．．．．。

在给定的系统中，阻尼越小，共振频率ω越接近系统无阻尼状态的固有频率0ω，如下图所示。

实际振动系统的阻尼系数β≠0，所以一般振动系统的振动幅度应为有限值。

由图2可见，β值越小，曲线共振峰值越高，而峰值处共振频率r ω越接近系统固有频率0ω。

为了描述共振曲线的“锐度”可以引入品质因数Q ]1[，Q =β
ω20。

可见：β值越小，Q 值越大；则曲线峰值越高，共振曲线变化越陡峭。

可以证明，在m A -ω曲线中，如果用1ω和2ω表示峰值处共振频率r
ω两边对应于位移振幅为2max
A 的强迫力频率，则Q 值可以表示为： 12ωωω−=r
Q =1
20f f f − （β值较小的条件下0f f r ≈） （10） 我们可以通过测量如图3所示的振动系统的幅频特性曲线，求出系统的品质因数，进而获得系统的阻尼系数β的近似值。

3． 音叉基频的改变及其周期的测量
音叉是一种由金属制成的物理仪器。

当其振动发声时，具有一定的．．．基音．．
；泛音（谐音）极弱。

其基音的高低与其结构和质量有关。

在实验中，通过改变音叉两臂给定位置处的加载质量块，可以调整音叉所发声波的固定基音。

由前面的讨论可知，振动系统的振动周期T 与系统的质量应有下述关系：
)(02m m B T += （11）
式中 B 为常数，它取决于音叉材料的力学性质及结构；0m 是和音叉有效质量有关的参量；；m 与加载质量有关。

利用（11）式的原理制作的音叉传感器，被广泛应用于液体的密度及液位高度的测量之中。

三、 实验仪器
音叉、电磁激振线圈、电磁线圈传感器、阻尼片、加载质量块组（成对）、支座、音频信号发生器、交流数字电压表（0~1.999V ）；示波器（可共用、图中未示？）、电子天平（可共用图中未示）。

四、实验内容及步骤
1．测定音叉的共振频率及最大输出电压
（1）用屏蔽导线将低频信号发生器的输出端与音叉支座上的激振线圈电压输入端相连接；另一根屏蔽线将音叉支座上的电磁传感器的信号输出端与交流数字电压表的输入端连接；
（2）打开FD-VR-A 受迫振动与共振实验仪的电源，预热15分钟；
（3）测定共振频率0f 与电压振幅max U
将低频信号发生器的输出频率，由低到高缓慢调节（共振频率的参考值在250z H 左右），仔细观察电压表的读数，当电压表输出指示达到最大值时，记录音叉的共振频率0f 与此时传感器的最大输出电压max U 。

2．测定音叉受迫振动条件下的幅频特性曲线
（1）保持信号源输出信号强度不变；当信号源输出信号的频率由低变高的同时，测量数字电压表的输出值。

以测定位移振幅m A （以max U 表征）与驱动力角频率ω（以f 表征）之间的关系；
（2）绘制U ～f 关系曲线，找出两个半功率点所对应的1f 与2f ，由（10）式确定振动系统的品质因数Q 。

3．利用所测定的2T ～ｍ关系曲线确定未知物体质量x m
（1）利用电子天平测定各对物块的质量，并加以记录；
（2）将各对物块依次固定在音叉的指定位置处，必须用螺丝钉固定好。

测出音叉双臂对称相加相同物块时对应的共振频率，记录ｍ～f 关系数据；
（3）根据上述测量结果，做出相应的2T ～ｍ关系曲线。

并确定曲线的斜率及截距；
（4）用一对未知质量的物块x m 替代已知物块，测定此时的音叉共振频率与x f ，并由上述关系曲线确定未知物体质量。

4．振动系统的阻尼状态与品质因素的关系
在音叉两臂相同位置处，分别用小磁钢各固定一块阻尼板，测出此时音叉的共振频率，研究阻尼力对共振曲线锐度的影响。

5． 利用示波器测量音叉输入、输出信号的相位关系
观察实验装置，自行设计实验电路并加以连接；通过测量得出实验结论。

五、思考题
1．实验曲线U ～f 与理想曲线相差较多的主要原因是什么？
2．如何判定受迫振动系统已经达到稳定共振状态？。