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最新初中数学分类讨论问题专题

中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。

形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计1:分式方程无解的分类讨论问题;2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;4:分类问题在动点问题中的应用;4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。

五、教学用具打印互动背景资料、三角板、多媒体。

六、作业布置附后1:分式方程无解的分类讨论问题例题1:(2011武汉)=+=-+-a 349332无解,求x x ax x 解:去分母,得:1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知)( 猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? 68-==a a 或例题2:(2011郴州) ==--+a 2112无解,求x ax2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3:(2010上海)已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根,求m 的取值范围。

(1) 当02=m 时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=1- (2) 当02≠m 时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ,且02≠m综(1)(2)得,41-≥m常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略02≠m 的条件) 总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。

这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题4:(2011益阳)当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。

A C解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即02≠m ,0≠m ,1.m ,01≤≥∆解得同理,.45m ,02-≥≥∆解得1m 45≤≤-∴且0≠m ,又因为m 为整数.11或取-∴m (1)当m=—1时,第一个方程的根为222±-=x 不是整数,所以m=—1舍去。

(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.练习:已知关于x的一元二次方程01)1(2=++-x x m 有实数根,则m的取值范围是:1m 45001≠≤⇒⎩⎨⎧≥∆≠-且m m3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5:(2011青海)方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )A 12 B 12或15 C 15 D 不能确定例题6:(2011武汉)三角形一边长AB 为13cm ,另一边AC 为15cm ,BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。

(54或84)例题7:(2011湘西)若两圆相切,圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为:3或11.例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ,且有BC=2AC,将其从C 点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为:60cm 或120cm4:动点问题的分类分类讨论问题4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;2p例题9:(2011永州)正方形ABCD 的边长为10cm ,一动点P 从点A 出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图,回到A点停止,求点P 运动t秒时,P ,D 两点间的距离。

解:点P 从A 点出发,分别走到B ,C ,D ,A 所用时间是秒,秒,秒,秒,即5秒,10秒,15秒,20秒。

∴(1)当0≤t<5时,点P 在线段AB 上,|PD|=|P 1D|=(cm)(2)当5≤t<10时,点P 在线段BC 上,|PD|=|P 2D|=(3)当10≤t<15时,点P 在线段CD 上,|PD|=|P 3D|=30-2t (4)当15≤t ≤20时,点P 在线段DA 上,|PD|=|P 4D|=2t-30综上得:|PD|=总结:本题从运动的观点,考查了动点P 与定点D 之间的距离,应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。

例题10:(2010福建)已知一次函数3333+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,试在x 轴上找一点P ,使△PAB 为等腰三角形。

分析:本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。

△PAB 是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB ;(2)PA=AB ;(3)PB=AB 。

先可以求出B 点坐标MEA BCDN()033,,A 点坐标(9,0)。

设P 点坐标为)0(,x ,利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出P 点坐标有四解,分别为)0369()0369()03()09(,、,、,、,-+-。

(不适合条件的解已舍去)总结:解答本题极易漏解。

解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。

另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。

由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。

例11:(2010湖北)如图,正方形ABCD 的边长是2,BE=CE ,MN=1,线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动.当DM= 时,△ABE 与以D 、M 、N为项点的三角形相似。

分析与解答 勾股定理可得ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时,DM 可以与BE 是对应边,也可以与AB 是对应边,所以本题分两种情况:(1) 当DM 与BE 是对应边时,DM MNAB AE=,即1DM DM =.(2)当DM 与AB 是对应边时,DMMNAB AE=,即2DM DM=故DM例题12:(2011湘潭)如图,直线y=3x+3交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使三角形ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由。

说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形,要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确全面求解的根本保证.解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点式(h,k );3,交点式。

易得: 32)3,0()3)(1(2++-=∴-+=x x y B x x a y 在抛物线上再结合点(2) 依题意得10=AB ,抛物线的对称轴为x=1,设Q(1,y)1) 以AQ 为底,则有AB=QB,及22)3(110-+=y 解得,y=0或y=6,又因为点(1,6)在直线AB 上(舍去),所以此时存在一点Q(1,0) 2) 以BQ 为底,同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,6-) 3) 以AB 为底,同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,6-)【作业训练】1.已知等腰△ABC 的周长为18㎝,BC=8㎝.若△ABC ≌△A ´B ´C ´,则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于( )A .7㎝B .2㎝或7㎝C .5㎝D .2㎝或7㎝2.(2010衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为( )度。

A 30 B 60 C 30或90 D 603.A 、B 两地相距450千米,甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,以过t 小时两车相距50千米,则t 的值是( )A .2或2.5B .2或10C .10或12.5D .2或12.54.已知⊙O 的半径为2,点P 是⊙O 外一点,OP 的长为3,那么以P 这圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( )A .1或5B .1C .5D .不能确定5.(2011株洲市)两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程0452=+-x x 的两根,判断这两圆的位置关系: .6.已知点P是半径为2的⊙O外一点,PA 是⊙O 的切线,切点为A ,且PA=2,在⊙O 内作了长为的弦AB ,连续PB ,则PB 的长为7.(2010四校联考)在等腰三角形ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个三角形的底边长为:.8:变换例题12,请问是否在x轴,y轴上存在点P,使得P,B,C三点组成的图形为等腰三角形,请说明理由。

【参考答案】1.D 2 .C 3. A 4.A5.外切 6.2或7.7或11。

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