”= 无解,求 a = 由已知 - = -3或 - = 3或a - 1 = 0- = 2无解,求a =中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。
形成一定 的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1:分式方程无解的分类讨论问题; 2:“一元二次 方程系数的分类讨论问题; 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用;4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论;4.2 组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。
1:分式方程无解的分类讨论问题例题 1:(2011 武汉) 3 ax 4+x - 3 x 2 - 9 x + 3解:去分母,得:3( x + 3) + ax = 4( x - 3) ⇒(a -1)x = -2121 21a -1 a -1∴ a = 8, a = -6.或者a = 1猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a = 8或a = -6例题 2:(2011 郴州) 2 ax + 1 x - 12:“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3:(2010 上海)已知方程 m 2 x 2 + (2m + 1) x + 1 = 0 有实数根,求 m 的取值范围。
(1) 当 m 2 = 0 时,即 m=0 时,方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根 x= - 1∆ = (2m + 1) 2- 4m 2= 4m + 1 ≥ 0,即m ≥ - ,且 m 2 ≠ 0(2) 当 m 2 ≠ 0 时 , 方 程 为 一 元 二 次 方 程 , 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 :14综(1)(2)得, m ≥ -14常见病症:(很多同学会从( 2)直接开始而且会忽略 m 2 ≠ 0 的条件)总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。
这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题 4:(2011 益阳)当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 mx 2 - 4 x + 4 = 0 与x 2 - 4mx + 4m 2 - 4m - 5 = 0 的根都是整数。
解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为 0,即 m 2 ≠ 0 , m ≠ 0 , ∆ ≥ 0, 解得m ≤ 1.1同理, ∆ ≥ 0, 解得m ≥ - 2 5 4 .∴ - 5 4≤ m ≤ 1且 m ≠ 0 ,又因为 m 为整数∴ m 取 - 1或1.(1)当 m=—1 时,第一个方程的根为 x = -2 ± 2 2 不是整数,所以 m=—1 舍去。
(2)当 m=1 时,方程 1、2 的根均为整数,所以 m=1.练习:已知关于x的一元二次方程 (m - 1) x 2 + x + 1 = 0 有实数根,则m的取值范围是:⎧m - 1 ≠ 0 5⎨⇒ m ≤ 且m ≠ 1 ⎩∆ ≥ 043:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5:(2011 青海)方程 x 2 - 9 x + 18 = 0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为()A 12B 12 或 15C 15D 不能确定例题 6:(2011 武汉)三角形一边长 AB 为 13cm ,另一边 AC 为 15cm ,BC 上的高为 12cm, 求此三角形的面积。
(54 或 84)例题 8:(2011 四校联考)一条绳子对折后成右图 A 、B, A.B 上一点 C ,且有 BC=2AC,将 其从 C 点剪断,得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为:60cm 或 120cmA CB0) 0) (3 0) (9 0) (9 0)4:动点问题的分类分类讨论问题4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论; 例题 9:(2011 永州)正方形 ABCD 的边长为 10cm ,一动点 P 从点 A 出发,以 2cm/秒的速度 沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图,回到 A 点停止,求点 P 运动 t 秒时, P ,D 两点间的距 离。
解:点 P 从 A 点出发,分别走到 B ,C ,D ,A 所用时间是 秒, 秒,秒,秒,即 5 秒,10 秒,15 秒,20 秒。
∴( 1 )当 0 ≤ t<5 时,点 P 在线段 AB 上, |PD|=|P 1D|=D p3C(cm)( 2 ) 当 5 ≤ t <10 时 , 点 P 在 线 段 BC 上 , |PD|=|P 2D|=p4p2(3)当 10≤t<15 时,点 P 在线段 CD 上,|PD|=|P 3D|=30-2tAp1 B(4)当 15≤t ≤20 时,点 P 在线段 DA 上,|PD|=|P 4D|=2t -30综上得:|PD|=总结:本题从运动的观点,考查了动点 P 与定点 D 之间的距离,应根据 P 点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。
例题 10:(2010 福建)已知一次函数 y = -3 3x + 3 3 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A 、B ,试在x 轴上找一点 P ,使△PAB 为等腰三角形。
分析:本题中△PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没 有确定。
△PAB 是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)P A=PB ;(2)PA=AB ;(3)PB=AB 。
先可以求出 B 点坐标 (03,3) ,A 点坐标(9,0)。
设 P 点坐标为 ( x , ,利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出 P 点坐标有四解,分别 为 (-9, 、 , 、 + 6 3, 、 - 6 3, 。
(不适合条件的解已舍去)总结:解答本题极易漏解。
解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。
另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。
由于运动 引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。
1 , DM == 2例 11:(2010 湖北)如图,正方形 ABCD 的边长是 2,BE=CE ,MN=1,线段 MN 的两端在 CD 、AD 上滑动.当 DM= 时,△ABE 与以 D 、M 、N 为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得 AE= 5 .当△ABE 与以 D 、M 、AMDNN 为项点的三角形相似时,DM 可以与 BE 是对应边,也可以与 AB BE C是对应边,所以本题分两种情况:(1) 当 DM 与 BE 是对应边时, DM = MN ,ABAE即 DM = 1 , DM = 5 .(2)当 DM 与 AB 是对应边时,15 5DMMN ,即 DM = 2 5 故 DM 的长是 5 或 2 5 .ABAE 55 5 5例题 12:(2011 湘潭)如图,直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点,过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C (3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,使三角形 ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由。
说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广 泛.这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形, 要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需要的基础知识 的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,BQA CO是准确全面求解的根本保证.AA解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点 式(h,k );3,交点式。
易 得 :y = a ( x + 1)( x - 3)再结合点B (0,3)在抛物线上∴ y = - x 2 + 2 x + 3(2) 依题意得 AB = 10 ,抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1,y)1) 以 AQ 为底,则有 AB=QB,及 10 = 12 + ( y - 3) 2 解得,y=0 或 y=6,又因为点(1,6)在直线 AB 上(舍去),所以此时存在一点 Q(1,0)2) 以 BQ 为底,同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, 6 ) Q(1, - 6 )3) 以 AB 为底,同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1).综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1)、(1, 6 ) 、(1, - 6 )yD 2 7. 7【作业训练】△1.已知等腰 ABC 的周长为 18 ㎝,BC=8 ㎝.若△ABC≌ △A ´B´△C ´,则 A´B´C´中一定有一 定有条边等于( )A .7 ㎝B .2 ㎝或 7 ㎝C .5 ㎝D .2 ㎝或 7 ㎝2.(2010 衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是 1:2,则这个三角形的顶角为( )度。
A 30 B 60 C 30 或 90 D 603.A 、B 两地相距 450 千米,甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发,相向而行.已知甲 车速度为 120 千米/时,乙车速度为 80 千米/时,以过 t 小时两车相距 50 千米,则 t 的值是( )A .2 或 2.5B .2 或 10C .10 或 12.5D .2 或 12.54.已知⊙O 的半径为 2,点 P 是⊙O 外一点,OP 的长为 3,那么以 P 这圆心,且与⊙O 相切 的圆的半径一定是( )A .1 或 5B .1C .5D .不能确定5.(2011 株洲市)两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 x 2 - 5x + 4 = 0 的两根,判断这两圆的位置关系:.6.已知点P是半径为 2 的⊙O外一点,PA 是⊙O 的切线,切点为 A ,且 PA=2,在⊙O 内作了长为 2 2 的弦 AB ,连续 PB ,则 PB 的长为7.(2010 四校联考)在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两部分,则这个三角形的底边长为:.8:变换例题 12,请问是否在 x 轴, 轴上存在点 P ,使得 P ,B,C 三点组成的图形为等腰三角形, 请说明理由。