求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1. 求函数1y x=的值域。

解：∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 练习1：求函数， 故。

∴函数的值域为[ 3 ,＋∞) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 练习3：① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数xx y 1+=的图像为：例3 求函数y =+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。

当x = 2 时，y m in = 32-+log 312-=81， 当x = 10 时，m ax y = 52+log 39=33。

故所求函数的值域为：[81，33]。

例4 求函数y= 1+x -1-x 的值域。

解：原函数可化为： y=112-++x x 当x = 1时，y=1y +2y 有最小值2，原函数有最大值22= 2。

显然y>0，故原函数的值域为( 0 , 2]。

例5求函数y x = y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦练习：求函数 的值域。

(答案：｛y|y≥3｝) 求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

二、反比例函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数3x 4y 5x 6+=+值域。

则其反函数为：46x y 5x 3-=-，其定义域为：3x 5≠ 故所求函数的值域为：3y 5⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例7 求函数x+1y x+2=的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数x+1y x+2=的反函数为:12y x y-1-=,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y ∈R ｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝）三、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例8. 求函数1e 1e y xx +-=的值域。

解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x > ∴01y 1y >-+解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-例9. 求函数3x sin xcos y -=的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：x+y （）=3β即sin x+3（）β∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 形如02≥x 可解出y 的范围,从而求出其值域或最值。

例10．求函数1212--=x x y 的值域[解析]：由1212--=x x y 得112--=y y x四、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例8. 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ；②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ；④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值ab ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b].①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.练习1．求函数562---=x x y 的值域 由562---=x x y 44)3(2≤---=x ]4,(-∞∈∴y练习2. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例5：求函数点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由2-x x 2++≥0,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。

此时2-x x 2++=－（x －1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x －5的值域.(答案:值域为{y ∣y≤3}) 11011,022-<>⇒>--∴>y y y y 或 五、换元法利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且。

例3．求函数x x y -+=12 的值域解：设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y (]4,∞-值域为例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞ 例2求函数的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设（t≥0）,则x=1/2(2t -1)。

于是 y=1/2(2t -1)-3+t=1/22t+1（）-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。

这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。

它的应用十分广泛。

练习：求函数y=–x 的值域。

（答案：｛y|y≤－3/4｝例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+ 例13. 求函数1x 2x xx y 243++-=的值域。

解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y当82k π-π=β时，41y max = 当82k π+π=β时，41y min -= 而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域。

解：)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2-= 22)1t (211t )1t (21y +=++-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时，223y max +=，当22t =时，2243y += 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。