解法一：设方程的另一个根为x1.
由韦达定理，得
x1 ＋2= k+1
x1 ●2= 3k
解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法二：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3
9 4
∴1+1 x1 x2
=
（3）∵x1+x2=
x1 + x2 = 2 = 1 x1 x2 -1 2 , x1 ·x2=-1
-
1 2
∴（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2 =(x1+x2)2-4x1x2
=（1 ）2 - 4×（-1）= 17
2
4
作用3：求代数式的值
(4) (x1+1)(x2+1) （5）∣x1-x2∣
九年级数学()
21.2.4 一元二次方程根与系数 的关系
一元二次方程根与系数的关系
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推论1 推论2
若方程x2 px q 0的两根为x1, x2， 则：x1 x2 p, x1 • x2 q
∴这两个数为2和-１
作用2：已知两个数的和与积，求两数
例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求这两数.
解： 设这两数为 m, n，
则
m n mn
14 51
m, n可以看作是方程 x2-14x-51=0的两个根
m 17 n 3
或
m 3 n 17
∴这两数为17，-3
作用3：求代数式的值
以两个数x1, x2为根的一元二次 方程是 x2 （x1 x2）x x1 • x2 0
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 x1+x2=2 x1x2=-1
(2)
2x2
-
3x
+
1 2
=0
3
x1+x2= 2
1
x1x2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 x1+x2=3 x1x2=0
4
(4) 3x2 = 4 x1+x2=0 x1x2= - 3
在使用韦达定理时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－ 时，注意“－ ”不要漏写。
（3） 前提是方程有实数根即Δ≥0
几种常见的求代数式的值
1、x12 x22
3、1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
2、x12 x2 x1x22
例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 。求下列代数式的值。
(1) x12+x22
（2）
1 x1
1 x2
（3） （x1-x2)2
解：⑴∵x1+x2=
1
2, x1 ·x2=-1
∴（x21）2+x∵2x21＝+x(2x=1＋12x,2x)21
-2x1x2 ·x2=-1
1
=
(
1)2 2
-
2
×（-1）=
原式 = x1x2 + 1
1
2, =
x1 ·x2=-1
x1x2 +1 =
-
1+1
=
0
x1 x2
x1
x1
（7） 1 - 1 x2 x1
(8) x2 + x1 x1 x2
（7）∵x1+x2=
1 2
, x1 ·x2=-1
(x∴1-xx122)2-=x1(1x=1+xxx112-x)x222-4x=1±x2-112=（7 =12±）2 12-74
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
例2.方程 x2 3kx 2k 1 0 的两根互为倒
数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ，
则：x1 • x2 2k 1
而方程的两根互为倒数
即 x1 • x2 1 所以：2k 1 1
得： k 1
例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。 解：设方程的两根分别为x1和x2，
（4）∵x1+x2=
1
2 , x1 ·x2=-1
∴原式=x1x2+x1+x2+1= -1+
1 2
+1=
（6）x2
1 2
+
1 x1
（5）∵x1+x2=
1,
2
x1
·x2=-1
∴ x1 - x2 =
(x1 x2 )2
(x1 x2 )2 4x1x2
=
(1）2 - 4×（-1） 2
= 17
2
（6）∵x1+x2=
（1）若两根互为相反数, 则b0;
补
（2）若两根互为倒数, 则ac;
（3）若一根为0, 则c0 ; （4）若一根为1, 则abc0 ;
充 规 律：
（5）若一根为1, 则abc0;
（6）若a、c异号, 方程一定有两个实数根.
作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1·x2=k+2
解得：k=4 或k=-2
又 x12+ x2 2 = 4
∵ △= K2-4k-8
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 当k=4时， △=-8＜0
K2 -2(k+2）=4
∴k=4(舍去）
K2 -2k4、( x1 x2 )2
5. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
x2 x1
x1 x2
x1 x2
6.(x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4
7. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)
×（-1）=
17 4
∴ x1 - x2 = ±
17 2
（8）∵x1+x2= 原式 = x22 +
1,
2
x12
x1 ·x2=-1 = (x1 + x2
)2
- 2x1x2
x1x2 x1 x2
x1x2
=
(
1 2
)2
-
2
×（-1） =
-
9
-1
4
例2.已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2 且 x12 x22 4 求k的值。
则：x1·x2=
k 3
=
-3
∴ k=-9
作用2：已知两个数的和与积，求两数
例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。
解法一:设两数分别为x,y则:
{
x y 1
x y 2
解得:
{
x=2 y=－1
或
{
ｘ＝－1 y=2
解法二:设两数分别为一个一元二次方程
的两根则: a 2 a 2 0
求得 a1 2, a2 1