第二章图形的变换图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答，也将有效地提高思维品质.初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题2.1图形的平移与对称火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景•你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation ).平移不改变图形的形状和大小一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等.例1如图，将面积为5的△ ABC沿BC方向平移至△ DEF的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积是多少？分析⑴对应点的距离等于平移的距离；(2)利用平移前后的两个图形全等”平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法.解设点A到BC的距离为h,戸, 1则S SBC = 2BC h = 5.•••平移的距离是BC的长的2倍，••• AD = 2BC, CE= BC,1•四边形ACED的面积=^(AD + CE) h =1 12(2BC + BC) h= 3 >^BC h = 3 X5 = 15.例2 如图，两个全等的△ ABC和厶DEF重叠在一起，固定△ ABC，将△ DEF进行如下变换：(1) 如图1, △ DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出S^A BC与S四边形AFED 的关系；(2) 如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△ DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.（第24题團1）（第24题團2〉（第24题團3）分析⑴由平移可知AD=BE，从而可得S A DBE=S A DFA , S A ABC=S A DFE , S A DFE=S A DFB +S A DBE,S A ABC=S四边形AFBD ；（2）若四边形AFBD是正方形，则 / AFB=90°, AF=BF，又CF=BF，从而可知AF=AF=BF, 从而可得 / BAC=90° AB=AC；（3）由（2）知，△ ABC为等腰直角三角形，从而可知GF=2CF，设CF= k,则GF = EF=CB=2k,由勾股定理，得：CG= 、、5 k,从而可求得sin / CGF=—解⑴ S A ABC=S四边形AFBD ；⑵△ ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC, / BAC=90。

，理由如下:••• F为BC的中点，••• CF = BF,•/ CF= AD ,• AD= BF,又•/ AD // BF ,•四边形AFBD为平行四边形，••• AB=AC,F 为BC 的中点，• AF 丄BC,••平行四边形AFBD为矩形，•••/ BAC=90°,F 为BC 的中点，1• AF=_BC=BF ,2•四边形AFBD为正方形；S3由（2）知，△ ABC为等腰直角三角形，AF丄BC,设CF=k,则GF = EF=CB=2k,由勾股定理,得：CG =..5 k, sin / CGF=CJk 5.CG V5k 5例3如图1，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，口ABCD的顶点A的坐标为(-2, 0)，点D的坐标为(0, 2 ...3),点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线I与X轴交于点F，与射线DC交于点G.⑴求/ DCB的度数；⑵当点F的坐标为(-4, 0)时，求点G的坐标；(3) 连结OE,以OE所在直线为对称轴，△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF'记直线EF与射线DC的交点为H.①如图2,当点G在点H的左侧时，求证：△ DEGDHE ;(图1)解：⑴在Rt A AOD 中,••• / DAB=60° .•••四边形ABCD是平行四边形•••/ DCB = / DAB =60 °⑵•••四边形ABCD是平行四边形• CD // AB•/ DGE = / AFE又•••/ DEG=/ AEF , DE=AE•••△DEG ◎△ AEF• DG=AF•/ AF=OF- OA=4- 2=2• DG=2••点G的坐标为(2, 2,3)(3)① T CD // AB•••/ DGE=/ OFE•/△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF '•••/ OFE=/ OF '•••/ DGE=/ OF '1在Rt △ AOD 中，T E 是AD 的中点• OE=—AD=AE②若△ EHG的面积为3-. 3，请直接写出点F的坐标.(图2)■/ tan /DAO2又T/ EAO=60•••/ EOA=60°,/ AEO=60°又•••/ EOF '/ EOA=60°•••/ EOF '/ OEA• AD // OF'•••/ OF ' E=Z DEH•••/ DEH=/ DGE又•••/ HDE=Z EDG•△ DHE s\ DEG②点 F 的坐标是F i( — .13 1, 0) , F2(13—5 , 0).( 给出一个得2分)轴对称与轴对称图形的区别与联系:轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形全等；对称点的连线段被对称轴垂直平分；对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；轴对称图形的重心在对称轴上.例4如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm , AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC交AD于点G.(1)求证：AG=C G ；(2)如图2,再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN, EN交AD于点M，求EM的长.分析：(1)通过证明厶GAB GC D即可证得线段AG、C'G相等；(2)在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN-MN=EM 的长. 解：(1)证明：•••沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，•••/ A= / C', AB=C D•••在厶GAB与厶GC D中，•/ AB = C ' D，/ A = Z C', / AGB = Z C'GDGAB ◎△ GC D••• AG=C G ；(2)v 点D 与点A 重合，得折痕EN , •/ EN 丄 AD , • M N=3 ,由折叠及平行线的性质可知/END= / NDC= / NDE ,• E N=ED ，设 EM=x ，贝U ED=EN=x+3，由勾股定理得 ED 2=EM 2+DM 2,即(x+3) 2=x 2+42, 解得x=7，即EM= 7 .6 6智慧园地1•平移改变的是图形的 A 位置 B 大小( C 形状 2•经过平移，对应点所连的线段 )D 位置、大小和形状 ( )D 既不平行，又不相等，下面说法正确的是( A 平行 B 相等 C 平行且相等 3•经过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离 B既可能相同也可能不同 D 无法确定 又是中心对称图形的是( A 不同的点移动的距离不同C 不同的点移动的距离相同4. 下列图形中， A .等边三角形 C .平行四边形5. 下列图形中， A .正方形 既是轴对称图形， B .等腰梯形 D .正六边形是中心对称图形， 但不是轴对称图形的是B .矩形C .菱形D .平行四边形)•6. △ ABC 平移到△ DEF.如果 AB = 8 cm , BE = 4 cm , DH = 3 cm ,求图中阴影部分的面积•E(第 6题)拓展延伸1 •如图，边长分别为 1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合， 大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止， 设小三角形移动的距离为 x ,两个三角形重叠面积为 y ，求y 关于x 的函数关 系式？2 .如图①，在平面直角坐标系中， AB = OB = 8，/ ABO = 90 ° / yOC =45°射线0C 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线 0C 经过 B 点时停止运动.设平行移动 x 秒后，射线 0C 扫过Rt △ ABO 的面积为 (1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 当x = 3秒时，射线OC 平行移动到O C 与OA 相交于点G , 如图②所示，求经过 G , O , B 三点的抛物线的解析式； A rA 1C r B r C ((第 2 题)2.2图形的旋转日常生活中，我们经常见到(钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(rotation)，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角•旋转不改变图形的形状和大小.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.如图(1)作出△ ABC绕点0旋转180°的图形；(2)以0为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180 °如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.中心对称的两个图形是全等图形.例1.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=- , △ ABF是4△ ADE的旋转图形.(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？4)如果连结EF,那么△ AEF是怎样的三角形？分析：由△ ABF是厶ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF?的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE ABF与厶ADE是完全重合的，所以它是直角三角形.图2 —5图2—6解：(1)旋转中心是A点(2)v^ ABF是由△ ADE旋转而成的••• B是D的对应点•••/ DAB=90°就是旋转角1(3)：AD=1 , DE= —4•••对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点(4)vZ EAF=90 (与旋转角相等)且AF=AE• △ EAF是等腰直角三角形.例2 如图所示，在Rt△ ABC中，/ ABC=90 .将Rt△ ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt △ ABC沿着AB所在直线翻转180得到△ ABF .连接AD .(1)求证：四边形AFCD是菱形；(2)连接BE 并延长交AD于G,连接CG,请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？分析：(1)需证明△ ACD是等边三角形、△ AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形. (2)可先证四边形ABCG是平行四边形，再由/ ABC=90，可证四边形ABCG是矩形.解答：(1)证明：Rt△ DEC是由Rt△ ABC绕C点旋转60°得到，• AC=DC，/ ACB= / ACD=60 ,•△ ACD是等边三角形，• AD=DC=AC ,又••• Rt△ ABF是由Rt△ ABC沿AB所在直线翻转180°得到，• AC=AF，/ ABF= / ABC=90 ,•••/ ACB= / ACD=60 ,•△ AFC是等边三角形，• AF=FC=AC ,• AD=DC=FC=AF ,•四边形AFCD是菱形.(2)四边形ABCG是矩形.证明：由(1)可知：△ ACD , △ AFC是等边三角形，△ ACB AFB ,• / EDC= / BAC=2 / FAC=30，且△ ABC 为直角三角形,• BC=—AC ,2•/ EC=CB ,••• ECuAC ,2• E 为AC 中点， • DE 丄 AC , • AE=EC , •/ AG // BC ,• / EAG= / ECB ,Z AGE= / EBC , • △ AEG ◎△ CEB , • AG=BC ,•四边形ABCG 是平行四边形，•••/ ABC=90 , •四边形ABCG 是矩形.例3如图1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一 起.现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0 (点0也是BD 中点)按顺时针 方向旋转.(1) 如图2,当EF 与AB 相交于点M , GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量 BM , FN 的长度，猜想BM , FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；(2)若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M , 线段BD的延长线与GF 的延长线相交于点 N , 请证明；若不成立，请说明理由.• BM=FN .(2) BM=FN 仍然成立.证明：•••△ GEF 是等腰直角三角形，四边形• / DBA= / GFE=45° OB = OF . • / MBO= / NFO=135° . 又•••/ MOB = / NOF , • △ OBM OFN• BM=FN .此时, (1)中的猜想还成立吗？若成立, 分析：(1)只需证 (2)只需证 解：(1) BM=FN .证明：•••△ GEF 是等腰直角三角形，四边形• / ABD = / F =45 ° OB = OF . 又•••/ BOM = / FON ,△ O BM △ OFN , △ O BM OFN ,可得BM=FN可得BM=FNABCD 是正方形,ABCD 是正方形, 图1 CB图2G图3例4如图，四边形 ABCD 是边长为3「的正方形，长方形 AEFG 的宽AE= 一，长EF= 一「.将长2 2方形AEFG 绕点A 顺时针旋转15°得到长方形 AMNH (如图)，这时BD 与MN 相交于点0. (1) 求/ DOM 的度数；(2) 在图中，求D 、N 两点间的距离；(3) 若把长方形 AMNH 绕点A 再顺时针旋转15°得到长方形 ARTZ ，请问此时点 B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由.分析 (1)由旋转的性质，可得Z可得Z ABD=45，然后利用外角的性质，即可求得Z (2 )首先连接AM ，交BD 于I ，连接AN , 性质，即可求得Z DAN=45，即可证得 A ,(3)在Rt △ ARK 中，利用三角函数即可求得BAM=15，即可得/ OKB= / AOM=75，又由正方形的性质,DOM 的度数；由特殊角的三角函数值，求得/ HAN=30 C , N 共线，然后由股定理求得答案；AK 的值，与AB 比较大小，即可确定又由旋转的 的位置.3解(1)根据题意得：/ BAM=15 ,•••四边形AMNH是矩形，•••/ M=90 ,•••/ AKM=90 -Z BAM=75 ,•••/ BKO= Z AKM=75 ,•••四边形ABCD是正方形，•Z ABD=45 ,•Z DOM= Z BKO+ Z ABD=75 +45° =120°；(2)连接AN，交BD于I，连接DN ,7，/ H=90 ,•/ NH= —, AH=2•••曲HAN「；=:•••/ HAN=30 ,•AN=2NH=7 ,由旋转的性质：Z DAH=15•Z DAN=45 ,vZ DAC=45 ,•A , C, N 共线，•••四边形ABCD是正方形,•B D 丄AC ,5. 已知正方形 ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1 （如图所示）AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，贝U F 、C 两点的距离为2• NI=AN - AI=7 - 3=4,在 Rt △ DIN 中，DN= 茁［£「=5 ； （3 ）点B 在矩形ARTZ 的外部. 理由：如图，根据题意得：/ BAR=15 +15° =30°,•••/ R=90 , AR==,22•/ AB=33•••点B 在矩形ARTZ 的外部.智慧园地1.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ A 旋转使图形的形状发生改变B 由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C 平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D 对应点到旋转中心距离相等2.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° / A = 30° BC = 2，将△ ABC 绕点 度后，得到△ EDC ，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点 的面积分别为（F ，则 （第2题）C 按顺时针方向旋转 n的大小和图中阴影部分 A . 30,2 B . 60,2C . 60,于D . 60, . 33•钟表的时针经过20分钟，旋转了度。