图形的折叠问题试卷Newly compiled on November 23, 2020翻折组卷一．选择题（共9小题）1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB 边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：15．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．87．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB 边上，则折痕DF= ______cm．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________ °．12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_________ ．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为_________ ．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB 边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=_________ °．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为_________ cm，面积为_________ cm2．16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________ ．17．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为_________cm2．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_________ cm．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________ ．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=_________ 度．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_________ ．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=_________ °．23．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为_________ ．24．现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=_________ ．25．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=_________ 度．三．解答题（共5小题）26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2010赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：应用题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度适中．3．（2010白下区二模）如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据折叠的性质和正方形的判定方法，得四边形CDFE是正方形，四边形ABEF 是矩形；根据矩形的性质，得AF=BE=4，则DF=6，则CD=DF=6（cm）．解答：解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，得四边形CDFE是正方形，则四边形ABEF是矩形．∴BE=AF=4．∴DF=AD﹣AF=6．∴CD=DF=6（cm）．故选D．点评：此题考查了折叠问题，要能够根据折叠的方法发现正方形．4．（2004广安）如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：1考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，可设AB=3x，BC=2x，即可得BD=x，继而求得AB的值，则可求得答案．解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，∴设AB=3x，BC=2x，则AD=BC=2x，∴BD=AB﹣AD=3x﹣2x=x，如图3：AB=AD﹣BD=2x﹣x=x，∴DB：BA=x：x=1：1．故选C．点评：此题考查了折叠的性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求得A′F的长度．解答：解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．∵CE∥A′B，∴△ECF∽△A′BF，∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，∴=；而A′E=AE=AD=2，∴A′F=4﹣．故选D．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．8考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=CFCE．解答：解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB﹣AD=2，第三个图中AB=AD﹣BD=6，∵BC∥DE，∴BF：DE=AB：AD，∴BF=4，CF=BC﹣BF=2，∴△CEF的面积=CFCE=4．故选C．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故选B．点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2012历下区二模）小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．专题：数形结合．分析：根据折叠的性质可得出CF=CB，在RT△CDF中利用勾股定理可求出DF的长度，继而可求出cos∠DFC的值．解答：解：由折叠的性质得，CB=CF，设AB=4x，则BC=5x，在RT△DFC中，DF==3x，∴cos∠DFC==．故选B．点评：此题考查了翻折变换及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出CF的长度，在RT△CDF中求出DF的长度，难度一般．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：轴对称的性质．分析：根据对称的性质和AD=10，BE=6可得出CD的长度．解答：解：根据轴对称的性质可得可得出CD=DF=AD﹣AF=AD﹣BE，∴CD=4cm故选A．点评：本题考查轴对称的性质，关键在于根据图形判断出CD=DF．二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF= 8 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠EDF=30°，从而求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中求出DE，在Rt△DEF中可求出DF．解答：解：由折叠的性质可得：∠EDF=∠CDF=30°，则∠ADE=90°﹣30°﹣30°=30°，在Rt△ADE中，AD=6cm，∠ADE=30°，∴AE=ADtan∠ADE=2cm，DE=2AE=4cm，在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DE=4cm，∴DF==8cm．故答案为：8．点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等．11．（2012宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=40 °．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．解答：解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°﹣70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，=110°﹣70°，=40°．故答案为：40．点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．12．（2013日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A'DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA'C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．解答：解：作OH⊥DK于H，连接OK，∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°，∴∠ODH=30°，∴∠DOH=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴△ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．故答案为：（3π﹣）cm2．点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为80°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据正方形的性质得出AD∥BC，由∠EFG=50°可求出∠1的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠1=∠2=50°，由平角的性质即可得出∠BEG的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠EFG=50°，∴∠1=∠EFG=50°，∵四边形EFD′C′是四边形EFDC翻折而成，∴∠1=∠2=50°，∴∠BEG=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故答案为：80°．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=15 °．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．解答：解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，∴∠NPM=2×75°=150°，∴∠C′PB=30°，由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，∴∠NPB′=15°．故答案为：15．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为cm，面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：过点P作PE⊥MN，∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN==10（cm），∴S△PMN=PMPN=MNPE，∴PMPN=MNPE，即PE==（cm），即矩形纸片ABCD的宽为：；∵BC=PM+MN+PN=6+10+8=24（cm），∴S矩形ABCD=×24=（cm2）．故答案为：，．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2005遂宁）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：利用折叠的性质和勾股定理可知．解答：解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PMPN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=ABBC=．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．17．（2010徐汇区二模）把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN=10，BC=10+6+8=24．根据直角三角形的面积公式，得AB==．则矩形的面积=×24=（cm2）．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．专题：计算题；探究型．分析：连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，由垂直平分线的性质可知BM=EM，再由点E是CD的中点，可求出DE的长，由勾股定理即可求出AM的长．解答：解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，∵点E是CD的中点，DE=1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=x，则DM=4﹣x，∴x2+22=（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．点评：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为 1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴=，即=，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故答案为：1．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=70 度．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．故答案为：70．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=25°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为：25°．点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=64 °．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=53°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=64°．故答案为：64．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，以及两直线平行，内错角相等的性质．23．（2010盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为：1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=DG=CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为：1．故答案为：：1．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．24．（2011桐乡市一模）现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD= 2 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根据AD=DG即可求出AD．解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B 点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），∴∠EAF=∠EAB=45°，又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．连DE，∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，∴∠NDM=∠GDM，∴Rt△NMD≌Rt△GMD，∴DG=DN=，∴AD=DG=2．故答案为2．点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．25．（2013南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20 度．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度数．解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，∴α+∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠β+∠AFC=180°，∵∠β=110°，∴∠AFC=70°，则α=20°．故答案为：20点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）26．（2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据==2==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．解答：解：（1）是标准纸，理由如下：∵矩形纸片ABCD是标准纸，∴=，由对开的含义知：AF=BC，∴==2==，∴矩形纸片ABEF也是标准纸．（2）是标准纸，理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD==a，∴==，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；。