4 0
2a 2 .
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2
8
2
2
0
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
3 2 2 2 2 x 0 3 8 2
8
2 3 2 2 x2 3
1 2 x 2
8 2
24
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
1
(c )
x( t )dy( t ) y 1 ( c ) x( t ) y( t ) dt .
y 1 ( d )
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
x a( t sin t ) 例4 求摆线 (a 0, 0 t 2 ) y a(1 cos t )
4

(sin x cos x ) 2 2

4 0
( cos x sin x )

4
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
参数方程情形:
x x( t ) 设曲边梯形的曲边参数方程为 , y y( t )
记作dA
b
y
dA
y f ( x)
o a x x dxb x
b a
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
A lim f ( x )dx f ( x )dx dA
a
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第五章 定积分及其应用
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
x y2
2
2
dA ( x x )dx
A ( x x )dx
0 1
y x2
2 3 x2 3
1
x3 3 0
1 0
1 . 3
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第二节 定积分在几何上的应用
如果ρ是正的, 则在OP上取一点M使得OM= ρ;如
果ρ是负的, 则在OP的反向延长线上取一点M使得
OM= ρ . 极角θ为正表示逆时针旋转, 为负表示顺时针 旋转.
M
P
ρ
θ O
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第五章 定积分及其应用
a
b
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线 x=a, x=b 所围成平面 面积微元:
dA [ f ( x ) g( x )]dx
x
4) 取极限
曲边梯形的面积 A f ( x )dx a
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续, (1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx], 相应地小区间上面积的近似值为: 面积元素 ΔA≈ f(x)dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区 间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F

b
a
f ( x )dx
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dy 18.
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？
4
S S1 S2
[ 2 x ( 2 x )]dx
0 2
S2
S1
2
–2 –4
4
[ 2 x ( x 4)]dx
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y 2x y x4
2
y2 2 x
y x4
( 2,2), (8,4).
选 y 为积分变量
y A y4 2
4 2 2
y [2, 4]
极坐标系是由一个极点和一个极轴构成, 极轴的 方向为水平向右.
①极点; ②极轴; ③长度单位; ④角度单位和它的正 方向, 构成了极坐标系的四要素, 缺一不可.
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
练 习 求双纽线 2 2a 2 cos 2 所围面积. y
0
4
2a
x
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第二节 定积分在几何上的应用
2 3 M4
5 6


3
M1


6
8
7 6
M2 4 3
11 6
M3 5 3
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
dA [ ( y ) ( y )]dy
曲边梯形的面积:
A [ ( y ) ( y )]dy
c d
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
2
a
0
4ab sin 2 tdt ab.
0
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2
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
极坐标系: 在平面内取一个定点O, 从O引一条射线Ox, 选定 一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针 方向为正方) , 这样就建立了一个极坐标系 , O点叫 做极点, 射线Ox叫做极轴.
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积 公式经过定积分的换元法得到:
A ydx x 1 ( a ) y( t )dx( t ) x 1 ( a ) y( t ) x( t ) dt ;
a b
x 1 ( b )
x 1 ( b )
A xdy
c
d

y 1 ( d ) y
极坐标和直角坐标互化公式:
x cos y sin
2 x2 y2 y tan ( x 0) x
极坐标化直角坐标公式
直角坐标化极坐标公式
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1 2 dA ( ) d 2

x
3. 作定积分 A

1 [ ( )]2d 2
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例6 计算心形线=a(1+cos) 所围图形的面积
A 2 A1 2
a
2

0
1 [a(1 cos )]2 d 2
2
a (1 2cos cos )d 3 1 a ( 2cos cos 2 )d 2 2
0

(1 cos )2 d
2
A1
o
2
0

0
3 1 3 2 a [ 2sin sin 2 ] 0 a 2 4 2
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
x2 y2 例5 求椭圆 2 2 1 的面积. a b
x a cos t 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
的一拱与 x 轴围成的图形的面积 .
A
2 0
2 a 0
ydx
a(1 cos t )a(1 cos t )dt a
2

2
0
(1 2cos t cos2 t )dt