2 sin 2 t dt
0
4
a
2
b
12
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
例4. 求由摆线x a (t sin t), y a (1 cost) (a 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a
(1
cos
t)
a
(1
cos t )
d
t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d
20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a2
3
2
2 sin
1 4
sin 2
0
3 2
a2 .
例. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 与圆 r a
4 3 a2
3
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例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积来自y xA 4 A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 7 求心形线 a(1 cos ) 所围平面图形的
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为 x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
dV
hr
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V
h 0
1. 3
例 计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
y x2
y x3 6x
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx (2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA y 4 y2 dy
2
4
A dA 18. 2
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t) (t)dt. t1
（其中t1和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2]（或[t2,t1]）上x (t ) 具有连续导数， y (t )连续.
例3.
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1所围图形的面积 .
解: 利用对称性 ,有 d A y dx
y b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
o xxdxa x
x y
a cost b sin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
A 4
0
b sin t (a sin t) dt
4ab
于是所求面积 A A1 A2
A
0 ( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题：积分变量只能选 x吗
？
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2,2), (8,4).
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 8 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
所围图形的面积 .
1 2cos cos2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1a2 2
2
2
1 2
a
2
(1
cos
)2 d
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 2
2
(3 2
2
cos
1 2
cos
2 )
y
d
1 a2 a2 (3 2)
2
4
5 a2 2a2
4
o
a 2a x
二、体积
1.旋转体的体积
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
( )
d
A 1 2 ( ) d 2
x
例5. 计算阿基米德螺线 a (a 0) 对应 从 0 变
到2 所围图形面积 .
解: A 2 1 (a )2 d 02
a2 2
13
3
2
0
2 a
o
x
d
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 . 3
例. 计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积 二、体积 三、 平面曲线的弧长 四、 旋转体的侧面积 (补充)
一、 平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x dxb x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx dxb x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
y
4a2 2 sin 4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin 4 u d u 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2 a x
2. 极坐标情形
设( ) C[ , ] , ( ) 0 ,求由曲线 ( ) 及 射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]