例3 求下列极限值：
（1）lim 1 [ s in s in 2 s in ( n 1 )]
n n n n
n
111 1
（2）lim ( )
n n 1n 2n 3 2 n
【解题要点】 构造特定形式和→确定被积函数和积分 区间→用定积分表示极限.
考点3 定积分中参数的取值问题
（4） 3|x2 1|dx ； 0
（5） e1 lnxdx . 1x
例2 计算下列定积分：
b
（1） (a x)(x b)dx(b＞a)； a
（2） 5(3x34|x|sinx)dx. 5
【解题要点】 确定被积函数的原函数→对被积函数作 适当变形→将定积分转化为求曲边梯形 的面积.
考点2 利用定积分概念求极限值
a
a
a
（3） c f( x ) d x b f( x ) d x b f( x ) d x.
a
c
a
5.微积分基本定理：
如果f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，并且 F(x) f(x)，则
bf(x)dx F (b) F (a)
a
Hale Waihona Puke 拓展延伸1.用极限逼近原理求曲边梯形面积是 定积分的实际背景，其基本思路是： 分割→近似替代→求和→取极限.
物体，在a≤t≤b时段内行驶的路程
b
s
v(t)dt
a
（2）如果物体在变力F(x)的作用下做直 线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方 向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，则变力F(x)
b
所作的功W F(x)dx a
4.定积分的运算性质：
b
b
（1） kf(x)d x k f(x)d x；
a
a
b
b
b
（2） [f ( x )g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x
的最大值.
y
BA
D
O
x
例11 若过原点的直线l与曲线C： y＝x2－4x(x≥0)所围成图形的面积为36， 求直线l的方程.
【解题要点】 作几何直观图选择面积算法→确定积分 变量、被积函数和积分区间→将非规则 曲边梯形分割或补形为规则曲边梯形→ 对多边形面积直接套公式求解.
考点6 定积分在物理中的应用
2.定积分是一个特定形式和的极限， 其几何意义是曲边梯形的面积，定积分 的值由被积函数，积分上限和下限所确 定.
3.在实际问题中，定积分可以表示面 积、体积、路程、功等等，求定积分的 值有定义法、几何法、定理法三种，有 时利用定积分的性质进行计算，能简化 解题过程.
4.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，由直 线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积
x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
2.定积分的几何意义：
如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是 一条连续不断的曲线，且f(x)≥0，那么
b
定积分 f(x)dx 表示由直线x＝a，x＝ a
b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积.
3.定积分的物理意义：
（1）以速度v＝v(t)作变速直线运动的
＋3所围成图形的面积.
例9 求直线y＝x－4与曲线y2＝2x所 围成图形的面积.
例10 如图，曲线C1：y＝x2与曲线C2： y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线
x＝t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于 点D、B，连结OD，DA，AB.设a为常数，
当t变化时，求曲边四边形ABOD的面积S
S b|f(x)|dx a
5.由直线x＝a，x＝b(a＜b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的
面积 S b|f(x) g(x)|dx a
考点分析
考点1 定积分的基本运算
例1 计算下列定积分：
（1） 2x(x 1)dx ； 0
（2） 2(e2x 1
x1)dx ；
（3） sin2xdx； 0
例12 两车站A，B相距7.2km，一辆电 车从A站开往B站，电车开出ts后到达途 中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点 的速度为24m/s.从C点到B点前的D点以等 速行驶，从D点开始刹车，经ts后速度为 (24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，求： （1）A，C两点间的距离； （2）B，D两点间的距离； （3）电车从A站到B站所需的时间.
10.3 定积分及其应用
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.定积分的有关概念：
把
n
lim
n
i1
bnaf(
i)
叫做函数f(x)在区间
b
[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx ,即
b
f(x ) d x
a
n lim in 1bn a f(i) a.其中a与b分
别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]
叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数,
x
例6 求函数 f(x) sin t(1c o st) d t 0
的值域.
例7 已知函数 f(x)x(12lnt)dt
1
2t
(x＞1)，试推断函数f(x)是否有零点.
【解题要点】 求积分函数的解析式→据有关原理分析 函数性质.
考点5 用定积分求平面图形的面积 例8 求直线y＝x＋3与曲线y＝x2－2x
例4 (08年山东卷）设函数
f(x) a x2 c(a 0 )，若
1f(x)dx
0
f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
为
.
例5 设f(x)＝kx＋b，已知
1
f(x)dx 1，且
1f2(x)dx 4，
0
0
求k的取值范围.
【解题要点】 求相关定积分值→利用方程或不等式思 想分析参数取值.
考点4 定积分中的函数问题