解得
b=12,c=56.
(10 分 )
(3)当切割 成 的 小 正 方 体 由 棱 长 为 3、2、1
的 小 正 体 组 合 而 成 时 ,设 其 个 数 分 别 为d,e,f,
则由切 割 前 后 体 积 不 变,及 切 割 后 所 有 小 正 方
体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积
的10 倍可得: 3
第15秒时,△NPQ 的面积为 6平方米, 所以第2015秒时,△NPQ 的面积是6平方米.
(15 分 )
第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
一 、填 空 题 (每 小 题 5 分 .)
六年级 第2试
题号 1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12
答 案 9 25 3 11
2 100 1
45 20 70 0 188.4 330
二、解答题
13.(11111011111)2
割前的大正方体的表面积的
5×5×66+×16××16×6×91=299(倍),
因为
29 9
≠
10, 3
所 以 这 种 情 况 不 符 合 题 意 ,舍 去 .
(5 分 )
(2)当切割成的小正方 体 中 有 1 个 是 棱 长
为4的 小 正 体 时,剩 余 部 分 可 切 割 成 棱 长 为 2
或棱长为1的小正方体,设 其 个 数 分 别 为b,c,
则由切 割 前 后 体 积 不 变,及 切 割 后 所 有 小 正 方
体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积
的10 倍可得: 3
{6×6×6 = 4×4×4+2×2×2×b +1×1×1×c,
4×4×6+2×2×6×b+1×1×6×c 6×6×6
=
10 3.
整 理 ,得
{8b+c=152,
4b+c=104.
长 度 相 等 ,即
当 A 转 动 一 圈 时,即 A 上 的 定 点 转 了 一
圈,转过的长度为圆 A 的周长,
LA =2×π×15=30π(厘米), 此时,C 上的点也转过了30π厘米,
所以当 A 转动一圈时,C 转动的圈数是:
2×30ππ×5=3(圈). 所以当 A 转动一圈时,C 转动了3圈. (15分)
得
d 是不大于8(2×2×2=8)的自然数,
由 ② 可知 d 是小于5的偶数,
所以d 的可能取值是0,2,4,
将d 的值分别代入 ② 和 ① 可得:
d =0时,e=24,f =24;
d =2时,e=15,f =42;
d =4时,e=6,f =60,
综 上 知 ,切 割 成 的 小 正 方 体 中 ,棱 长 为 1 的
{6×6×6=3×3×3×d +2×2×2×e+1×1×1×f,
3×3×6×d
+2×2×6×e+1×1×6×f 6×6×6
=
10 3.
整 理 ,得
{27d +8e+f =216,
9d +4e+f =120.
①
两 式 相 减 ,消 去 f,得
9d +2e=48.
②
由d 是分割后的棱长为3的小正方体的个数,
15.(1)当 切 割 成 的 小 正 方 体 中 有1个 是 棱
长为5 的 正 方 体 时,剩 余 部 分 只 能 切 割 成 棱 长
为 1 的 小 正 体 ,设 其 个 数 为 a,则 由 切 割 前 后 体
积不变可得:
6×6×6=5×5×5+1×1×1×a,
解得
a =91.
此时切割后的所有小正方体的表面积之和是切
小正方体的个数是56,24,42,或60. (15分)
16.(1)第1秒时,P 点运动到线段 MA 的
中点,Q 点运动到D 点,如图1,其中
PD =AD -AP =4-4÷2÷2=3,
所以 △NPQ 的面积为
3×4÷2=6(平 方 米 );
(5 分 )
图1
(2)第 15 秒 时 ,1×15=15(米 ), 此时 P 点运动到线段 MD 的中点, Q 点运动了2×15=30(米),
由 30-4×4=14,知 此 时Q 点运动到点A,即点Q 与点A 重合,如图 2,其 中
AP =AD -PD =4-4÷2÷2=3, 所以 △NPQ 的面积为
3×4÷2=6(平方米); (10分)
图2
(3)因为 16÷1=16, 16÷2=8,
所以每经过16秒,点P 和点Q 都回到出发点 M, 又因为 2015÷16=125……15, 所以第2015秒和第15秒时,点 P 和点Q 的位 置相同,即 第 2015 秒 和 第 15 秒 时,△NPQ 的 面积相等, 由(2),知
(2)10 + (1)10
= (2015)10.
(15 分 )
14.(1)当A 时带动C 顺时针转动.
所以当 A 匀速顺时针转动时,C 顺时针转动.
(7 分 )
(2)当 A 转动时可带动B 转动,而 B 转动
时可带动C 转动,且 A,B,C 转动时,所转过的
=1×210 +1×29 +1×28 +1×27 +1×26 +
0×25 +1×24 +1×23 +1×22 +1×21 +
1×20
= (1024)10 + (512)10 + (256)10 + (128)10 +
(64)10 + (0)10 + (16)10 + (8)10 + (4)10 +