第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第 1 试试题2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至以下每题 6 分，共 120 分. 1. 计算：1 + 1 + 1 + 1+ 1 ________． 2 4 8 1632【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题【考点】借来还去——分数计算【难度】☆31【答案】 32【解析】原式 =12 + 14 + 18 + 161 + ( 321 + 321 ) - 321= 12 + 14 + 18 + (161 + 161 ) - 321 = 12 +14 + (18 +18 ) - 321= 12 + (14 + 14 ) - 321=12 + 12 - 321= 1 - 321= 32312. 将 99913化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是________．【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题【考点】循环小数与分数——计算【难度】☆【答案】1【解析】 99913= 0.013 ， 2015 ÷ 3 = 671 2 ，所以数字为 1.13.若四位数2AB7能被13整除，则两位数AB的最大值是________．【出处】2015年希望杯六年级初赛第3题【考点】整除问题——数论【难度】☆☆【答案】97【解析】13 2AB7⇒13AB0+2007，2007÷135，所以AB0÷138 ，13 AB5 ，利用数字谜或倒除法，可确定AB=97。

数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为5，因为构造最大值，所以十位为最大为7，积为9751 3 1 3 1 3⇒ 6 5 6 55 5 9 7 54.若一个分数的分子减少20%，并且分母增加28%，则新分数比原来的分数减少了________%．【出处】2015年希望杯六年级初赛第4题【考点】分数应用题——应用题【难度】☆☆【答案】37.5a a ⨯1 - 20% ) a 5 5 ⎛ 5 ⎫= ⨯ - ÷ 1 ⨯ 100% = 37.5% 【解析】设原分数为，则新分数为，所以新分数为原分数的⎪b b ⨯(1 + 28% ) b8 8 ⎝ 8 ⎭5. 若a< 1 < a +1 ，则自然数a=________．1 + 1 + 1 + 1 + 12011 2012 2013 2014 2015【出处】2015年希望杯六年级初赛第5题【考点】比较与估算——计算【难度】☆☆【答案】402【解析】设x= 1 x> 1 = 2011 = 402 1 x < 1 = 2015 = 403 ，所1+ 1+1+1+1 1⨯ 51⨯ 52011 2012 2013 2014 2015 2011 2015 以402 1 < x <403， a =4025x 3.14 = 0.14 0.5 = 0.5 ⎧ 2015 ⎫ + ⎧ 315 ⎫ + ⎧412 ⎫ =6. ．那么，⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬5⎩ 3 ⎭ ⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎭ ________．（结果用小数表示）【出处】2015年希望杯六年级初赛第6题【考点】高斯记号与循环小数——计算2【难度】☆☆【答案】1.816⎧ 2015 ⎫ ⎧ 315 ⎫ ⎧ 412 ⎫ 2 3 2【解析】⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ = + + = 0.6 + 0.75 + 0.4 =1.8164 5 3 4 5⎩ 3 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭7.甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数之比是3:4．已知丙制作了20件，则甲制作了________件．【出处】2015年希望杯六年级初赛第7题【考点】比例应用题——应用题【难度】☆☆【答案】15【解析】甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数是总数的1-30%=70%，乙、丙制作的件数之比是3:4，则乙做了30%，丙做了40%，则甲：乙：丙= 3 : 3 : 4，甲制作了20÷4⨯3=15（件）。

8.已知9x，15y，14z都是最简真分数，并且它们的乘积是16，则x+y+z=________．【出处】2015年希望杯六年级初赛第8题【考点】因数与分解质因数——数论【难度】☆☆☆【答案】21【解析】9x⨯15y⨯14z=16，6xyz=9⨯15⨯14，xyz=3⨯3⨯5⨯7，x 与9互质，x 不含因数3；y 与15互质，y 不含因数3,5；z 与14互质，z 不含因数7；并且x，y，z均不能为1（否则，必有假分数出现），所以y=7，x=5，z=9，x+y+z=7+5+9=219.如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分．第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了．第二只和第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份．那么，这堆花生米至少有________粒．图1【出处】2015年希望杯六年级初赛第9题【考点】分数应用题——应用题【难度】☆☆☆☆【答案】253⎡ ⎛ 2 ⎫ 2⎤ 227 a + 303a + 6⎢ + 1 ⎪ ÷+ 1⎥ ÷+1=+ 1 =+ 3a + 4 ，⎣ ⎝3⎭ 3 ⎦ 38 83a + 6 为 8 的倍数且为 3 的倍数，最小为 24，所以 a = 6 ，总数为3a + 6 + 3a + 4 = 24 + 3 ⨯ 6 + 4 = 25 88110. 如图 2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 4 圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是________．图2【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 10 题【考点】圆与扇形——曲线形几何【难度】☆☆☆【答案】 π : 2【解析】因为 S 2 = S 4 ，两个半圆的面积 S 1 + S 2 + S 2 + S 3 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 与长方形面积相等。

所以设长为 a ，宽为 b ，14 πb 2 ⨯ 2 = ab ， πb = 2a ， a : b = π : 2S 4S 1 S 3S211. 六年级甲班的女生人数是男生人数的109 倍，新年联欢会中， 52的女生和13 的男生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的________．【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 11 题 【考点】分数应用题——应用题【难度】☆☆ 【答案】 197【解析】设女生人数为 10 份，男生人数为 9 份，则参加演出的人数为 2 ⨯ 10 + 1⨯ 9 = 7 ，占全班人数的 7 = 7 5 3 10 + 9 1912. 有 80 颗珠子，5 年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差________颗．4【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 12 题【考点】因数问题——数论【难度】☆☆ 【答案】4【解析】设 5 年前妹妹的年龄为 x ，那么5 年前今年妹妹xx + 5姐姐 x + 2 x + 75 年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以 2 x + 2 与 2 x +12 均为 80 的因数，且这两个因数的差为10，80 的因数有 1,2,4,5,8,10,16，20,40,80，所以只有 10 与 20 的差为 10，所以 2 x + 2 =10 ，x = 4 ，5 年前按照 4 :6 的比例分配，姐姐分到 80 ÷ ( 4 + 6 )⨯ 6 = 48 （颗），今年按照 9:11 的比例分配，姐姐分到80 ÷ ( 9 + 11)⨯ 11 = 44 （颗），两次分配相差 48 - 44 = 4 （颗）。

13. 如图 3，分别以 B ，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米，则阴影部分的周长是________厘米．（π 取 3）EA BC D图3【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 13 题【考点】圆与扇形——曲线形几何【难度】☆☆【答案】3【解析】BE ,BC ,CE 均为圆的半径，所以 ∆BCE 等边三角形，每个角均为 60 度，所以阴影部分的两段圆弧均为 60 度的扇形所对应的圆弧，所以周长为 36060⨯ π ⨯ d ⨯ 2 +1 =16 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ 2 + 1 = 3EA B C D14. 一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出与第一次所倒出体积相等的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍，则第一次倒出的纯酒精是________升．【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 14 题5【考点】浓度问题——应用题【难度】☆☆☆ 【答案】50【解析】设第一次到出酒精 x 升，所剩酒精为 (100 - x ) 升，此时容器的空间为 x 升，则第一次倒入水时，酒精溶液浓度为 (100 - x )% ，再倒出 x 升酒精溶液，此时所剩酒精溶液体积为 (100 - x ) 升，所剩酒精为(100 - x ) % ⨯ (100 - x ) = 100 ⨯ 1 +13 ，所以 (100 - x )2 = 2500 ， x = 5015. 如图 4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的．现将甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的23 少 6 厘米，则甲容器的高是________厘米．甲乙图4【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 15 题【考点】圆柱——立体几何【难度】☆☆【答案】2722⎛ 2⎫【解析】设甲容器高为 h ，根据水的总量相等，得到 π ⨯ 2⨯ h = π ⨯ 3h - 6⎝ 3 ⎭16. 如图 5，《经典童话》一书共有 382 页，则这本书的页码中数字 0 共有________个．109图5【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 16 题【考点】页码问题——应用题【难度】☆☆【答案】68【解析】1 ~ 382 中，个位每 10 个数中出现一个 0， 382 ÷ 10 = 382 ，每 10 个数中最后一个数个位为 0，6所以个位中共有38个0，1 ~ 99中十位上没有0，十位有0的有，100 ~ 109，200 ~ 209，200 ~ 309，共30个，所以共38+30=68（个）17.如图6所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1,2,3,4,5,6,7，则图中阴影部分的面积是________平方米．（π取3）7654321图6【出处】2015年希望杯六年级初赛第17题【考点】圆——曲线形几何【难度】☆☆☆【答案】84【解析】阴影面积为π⨯ 12+π⨯( 32- 22)+π⨯( 52- 42)+π⨯( 7 2- 62)=π⨯ 1 +π⨯( 3 + 2 )+π⨯( 5 + 4 )+π⨯( 7 + 6)=28π=8418.将一个棱长为6的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的2倍，则切割成的小正方体的棱长是________．【出处】2015年希望杯六年级初赛第18题【考点】表面积问题——立体几何【难度】☆☆☆【答案】3【解析】若切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，所以平行于前面、右面、上面所切的刀数相同，由于切割后的表面积为切割前的两倍，所以增加面积等于原表面积，所增加的部分为两个前面、两个上面和两个右面，所以平行与三个面个切一刀，所以棱长为6÷2=319.有长度分别是1厘米，2厘米，3厘米，4厘米，5厘米的小木棍各若干根，从中任取3根组成一个三角形，则最多可以组成不同的三角形________个．【考点】三角形三边关系——几何【难度】☆☆☆【答案】227精品文档精品文档 【解析】有序枚举（1,1,1）（1,2,2）（1,3,3）（1,3,3）（1,4,4）（1,5,5）（2,2,2）（2,2,3）（2,3,3）（2,3,4）（2,4,4）（2,4,5）（3,3,3）（3,3,4）（3,3,5）（3,4,4）（3,4,5）（3,5,5）（4,4,4）（4,4,5）（4,5,5）（5,5,5）20. 一条路上有上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是 1:2:3，小羊经过各段路的速度之比是 3:4:5，如图7．已知小羊经过三段路共用 1 小时 26 分钟，则小羊经过下坡路用了________小时．图7【考点】三角形三边关系——几何【难度】☆☆☆【答案】0.6【解析】时间比为 13 : 42 : 53 = 20 : 30 : 36 =10 :15 :18 ，下坡路时间为1 6026 ÷ (10 + 15 + 18 )⨯ 18 = 0.6 （时）8。