温州二外2015学年第一学期高二期末考试数学试卷（ 命题时间2015.12.15）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()11223V h S S S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：（每小题5分, 共40分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A ．902cmB ．1292cmC ．1322cmD ．1382cm2. 若20π<<x ，则1tan <x x 是1sin <x x 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知圆()()161222=++-y x 的一条直径恰好经过直线230x y --=被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为 A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y +-=D ．240x y -+=4．如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为 A ．3B ．3 C ．3D ．35．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④6．已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 A. 3321<<e B. 332>e C. 3>e D. 31<<e 7．已知1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(,0)M t 为其中一个切点，则A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是A ．25235t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．2525t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．{}223t t ≤≤D ．{}222t t ≤≤第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9．双曲线2212x y -=的焦距是 ▲ ，渐近线方程是 ▲10．抛物线x y C 2:2=的准线方程是 ▲ ，经过点)1,4(P 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF += ▲11．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲ ，外接球的表面积为__▲ ． 11C D1B B1F.12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥,底面边长22AB =,则正三棱锥S ABC -的体积为 ▲ ，其外接球的表面积为 ▲13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为___▲____ .14．已知点O 为坐标原点，ABC ∆为圆M :22(1)(3)1x y -+-=的内接正三角形，则()OC OB OA +⋅的最小值为 ▲15．已知动圆Q 过定点()1,0-F ，且与直线1:=y l 相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点()2,0A 在椭圆N 上.若过F 的动直线m 交椭圆N 于C B ,点，交轨迹M 于E D ,两点，设1S 为ABC ∆的面积，2S 为ODE ∆的面积，令21S S Z =,Z 的最小值是__▲_____ 三、解答题（共39分）16．（14分）已知命题212:,10p x x x mx --=是方程的两个实根，且不等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立；命题q: 不等式+->2210ax x 有解，若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.17．（15分）圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P ．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点． （I ）证明：PA //平面BDE ；（II ）求二面角B DE C --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？19．（15分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线于,A B ，两点，AOB ∆的面积为8，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点（不与Q 重合）． （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，求PF 的最小值．20．（15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 经过2F 且交椭圆C 于B A ,两点（如图），1ABF ∆的周长为24，原点O 到直线l 的最大距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作弦AB 的垂线交椭圆C 于N M ,两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．（第20题图）温州二外2015学年第一学期高二期末考试数学参考答案二、填空题：本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分．9．y x =10．9;21-=x ，11．5263or ；3π12．43, 12π 15．33223-16．517．9三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 答案：P ：51a -≤≤…………5分 Q:1a >- …………10分 P,Q 一真一假511a a ∴-≤≤->或 …………14分17．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y22＝1.由P(2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2 ， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.18．（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ． （II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD ∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,,,,cos 223CE a BC a BE a BEC ===∴∠= 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，PF =． 所以在棱PB 上存在点F ，13PF PB =，使得PB ⊥平面DEF ． 19．（1）由已知可得：F 的坐标为(0,)2p，2AB p = ……………………..2分2128222p p S AOB p ∆∴=⨯⨯== ……………………..4分4p ∴=，∴抛物线方程为28y x = ……………………..6分（2）设00(,)Q x y ，11(,)P x y设直线为00:()l y y k x x -=-，联立方程002()8y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩得 2220000[2()8]()0k x k y kx x y kx +--+-=利用0∆=化简可得：20020x k y k -+=， ……………………..8分 又2008y x =，可得04k y =所以直线00:4()l y y x x =+ ……………………..10分11(2,)PF x y =--，00(2,)QF x y =--1010(2)(2)0PF QF x x y y ∴⋅=--+=10014()y y x x =+，1001(2)(2)4()0x x x x ∴--++=……………………..12分1001102()4(2)(2)0x x x x x x ∴+++=++=01020x x >∴+=，12x ∴=- ……………………..14分即点P 是抛物线准线2x =-上的点所以PF 的最小值是4 ………….....................15分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由题意244=a ，1=c2=∴a 222c b a += 1=∴b∴椭圆C 的标准方程为1222=+y x ………………（6分） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时有⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,1A ，22,2==MN AB ，221=⋅=∴MN AB S 当直线AB 的斜率为0时2,22==MN AB ，221=⋅=∴MN AB S ………………（8分）当直线AB 的斜率存在且不为0时设直线AB 的方程为()1-=x k y ，则直线MN 的方程为()11--=x ky联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x x k y 得()0224122222=-+-+k x k x k()1212212224124122222222++=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=k k k k k k k AB同理()212211211222222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k k MN ()()()21214212222+++=⋅=∴k k k MN AB S ………………（13分） 令()112≥+=t k t ，4921114124222+⎪⎭⎫⎝⎛--=-+=t t t t S ， 当211=t 。