即 P W 0.8125 0.0417.
此时 0.0417 也是 p 值.
对于水平 0.05，可以拒绝零假设.
也就是说，不同汽车密度的城市居民的血铅含量的确不一样.
按照 2 2 近似，得到 p 值为 0.0388，比上面的小一点.
例 某田径队对新入队的学员要进行四个部分的技术训练， 以提高学员的身体素质。为检验这四个部分的技术训练是否确实 有效，随机抽选了14 名新学员，分别接受四个部分的训练。 每个训练结束后，均进行该部分的测试，成绩以10 分为最高。 检测结果如下表所示：
对于置信水平 ，如果
Ri Rj

Z
*
2

bk(k 1) / 6，
则拒绝零假设，这里
*


总共可比较的对数


k(k 1)
, 2
Z
*
2
为标准正态分布分位数.
显然这个检验很保守，也就是说，很不容易拒绝零假设.
设来自四个地区的四名厨师制作名菜水煮鱼，四位美食 专家评分结果如下表.
专家
由于区组的影响，Friedman 检验首先在每一个区组中计算 各个处理的秩，再把每一个处理在各区组中的秩相加.
Rij 表示在第 j 个区组中 i 处理的秩，则秩按照处理而求得的
b
(行)和为 Ri Rij ,i 1, 2, , k. j 1 注：由于区组的影响，不同区组中的秩没有可比性. 但是，如果按照不同的区组收集数据，那么同一区组中 的不同处理之间的比较时有意义的. 比如，同个年龄段中比较药品的疗效比不分年龄来比较 疗效要合理. 因此，首先应在每一个区组内分配各处理的秩，从而 得到秩数据表.
Friedman 检验的问题是 k 个样本的位置参数
(用1,2, ,k 表示)是否相等.
k 个样本是匹配的，可以由 k 个条件下同一组受试者构成， 也可以将受试者分为 n 组，每组均有 k个匹配的受试者， 随机地将 n 组受试者置于 k 个条件下.
在不同受试者匹配的样本中，应尽量使不同受试者的有关 因素匹配即相似.
其中i 为同秩观测值个数，g 为同秩组数.
当实测数值 Dij Z1-* 时，表示两处理间有差异，反之则无差异.
其中 * .
k(k 1)
或者称之为 成对处理的比较
大样本时基于 Friedman 秩和检验的一个方法.
如果零假设 H0 为 i 处理和 j 处理没有区别， 那么，双边检验的统计量为 Ri Rj .
(区组) A
地区(处理)
B
C
D
1
85 82 82 79
2
87 75 86 82
3
90 81 80 76
4
80 75 81 75
试比较四个地区的四名厨师制作名菜水煮鱼的品质是否相同.
由于不同评委在口味和美学欣赏上存在差异，因此适合用 Freidman 检验方法比较.
解：假设检验问题
H
:
0
4
个地区的京城
设 0.10, 则 * 0.10 / 4(4 1) 0.0167.
Z10.0167 Z0.09833 2.13
等级 技术训练
A
B
C
D
学员编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10
3
6
8
2
5
9
4
4
10
3
8
6
3
10
4
3
4
10
6
5
4
6
7
7
10
6
5
6
10
3
5
10
5
7
6
8
9
7
6
5
4
2
6
3
5
4
7
4
5
10
9
6
5
8
10
试问在5%的显著性水平下四个部分技术训练的有效性有无 显著差异？
解：（1）建立假设
8.1316.
结论一：实际测量Qa
8.1316

2 0.05
3

7.82，接受备择假设，
即四个地区的水煮鱼在品质上存在显著差异.
Step 2 4 个地区所做的水煮鱼品质上有显著差异，
成对样本比较有 k k 1 6 种.
2 四种水煮鱼的秩和分别为
R1 15, R2 8, R3 11.5, R4 5.5.
Friedman 检验统计量为：
Q
12 bk(k 1)
k Ri
j1
b

k

1
2


2


12 bk(k 1)
k
R
2 j
j 1
3b(k 1).
Q 渐近服从自由度为 k 1的 2 分布. 即 Q ~ 2 (k 1).
3. 作出决策
对于有限的 k 和 b，有零假设下的分布表可查，
• Qc 的小样本零分布无表可查，但是其零分布的极限分布 与 Q 一样.
• 修正后统计量 Qc 的数学期望等于 k 1，
仍然服从 2 (k 1) 分布.
• 若实测 Q 2 (k 1)，则拒绝 H0.
反之不拒绝 H0.
例 4.2 在不同的城市对不同的人群进行血液中铅含量的测试， 一共有 A, B, C 三个城市，代表着三种不同的处理 (k 3). 对试验者按职业分成四组 (b 4) 取血. 他们血铅含量如下表所示：
方案C
2 3 1 1 3 2 3 1 3 3 2 2 3 2 2.5 3 3 3
Hollandre-Wolfe 两处理间的比较
当秩方差分析结果显示处理间存在差异时， (或者想知道某两个处理的比较时)
Hollandre Wolfe(1973)提出两处理间的比较公式： Dij Ri Rj SE .
区组(职业)
I
II
III
IV
处理(城市)
A
80 100
51
65
B
52
76
52
53
C
40
52
34
35
试判断对于显著性水平 0.05，
不同汽车密度的城市居民的血铅含量是否一样.
解：建立假设检验
H0 :1 2 3 H1 : 不是所有的位置参数都相等.
在表中加上各处理在每个区组(职业) 中的秩，得
1. 建立假设检验
假设检验问题：
H0 :1 2 ... k H1 : 不是所有的位置参数都相等.
或者说，提出假设
H
:
0
k 个样本间无显著差异.
H1:
k 个样本间有显著差异.
2. 选择检验统计量
• Friedman 检验所分析的数据应是定序尺度测量. • 获得的数据排出一个 k 行 n 列的表， 列代表不同的受试者或匹配的受试小组， 行代表各种条件(处理). • Friedman 检验的实质是符号检验推广到多个处理的比较问题.
R

k
1. 2
计算总均方(MST )
kb
Var Rij MST SST bk 1
(Rij R)2 bk
i1 j 1

1 bk

k i 1
b
Ri2j R 2
j 1
bk


1 bk


bk

k
1
6

2k
1
查的时候要作变换 W

b

Q
k 1
.
当查不到时，可用自由度为 k 1的 2 分布近似. 对于固定的 k，当 b 时，在零假设下有 Q ~ 2 (k 1).
4. 小结
检验步骤：
（1）提出假设
H
:
0
k
个样本间无显著差异.
H1:
k
个样本间有显著差异.
（2）计算检验统计量 Q.
（3）作出决策
12 bk(k 1)
k
R
2 j
j 1
3n(k 1)
12(152 82 11.52 5.52 )

3 4 5 7.725,
445
Qa
1
k i 1
Q
b
(
3 i,
j
i, j )
j 1
bk(k 2 1)
1
7.725 12
4 4 (42
1)
H
:
0
四个部分技术训练的有效性无显著差异
H1: 四个部分技术训练的有效性有显著差异
（2）计算检验统计量 Q.
学员编号 技术训练A 技术训练B
1
4
1
2
1
3
3
2
4
4
3
1
5
1
2
6
2
1
7
3
4
8
3
4
9
4
1
10
3
4
11
3
2
12
1
3
13
1
4
14
2
1
合计 (Ri )
33
33
技术训练C
2 4 1 4 4 3 2 1 3 2 1 2 4 3 36
区组(职业)
I
II
III
IV
Ri
处理(城市)
A 80(3) 100(3) 51(2) 65(3) 11
B
52(2) 76(2) 52(3) 53(2)