2 2 é s j = s ëQxx cos j + Qyy sin j + Qxy sin 2j ù û 2 2 0
二、点位任意方向的位差
例2：已知某平面控制网平差后得到未知点P的坐标平差值及其 协因数阵
é 0.25 0.15 ù QX ú ˆX ˆ =ê ë 0.15 0.75 û 2 ˆ0 3.0cm2 单位权方差 1) 计算P点纵、横坐标中误差和点位中误 差 2) 计算P点在方位角为90°方向上的位 差
(
)
T
一、点位中误差

2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
QX ˆX ˆ
æ ç ç = ( BT PB)-1 = ç ç ç ç è
Qx1x1 Qx1y1 Qx1xs Qx1ys ö ÷ Qy1x1 Qy1y1 Qy1xs Qy1ys ÷ ÷ ÷ Qxn x1 Qxn y1 Qxn xs Qxn ys ÷ Qyn x1 Qyn y1 Qyn xs Qyn ys ÷ ø
= QFF 对应的
l1 = QEE
é Q -Q EE ê xx ê Qyx ë
Qxy Qyy - QEE
ùé ù úê x ú = 0 úê y ú û ûë
Qxy y QEE - Qxx tan j E = = = x Qxy QEE - Qyy
Qxy y QFF - Qxx tan j F = = = x Qxy QFF - Qyy
y
P2 x'2 y'2
2 2 2 p x ' y'
A
O
y¢
点位方差总是等于两个相互垂直的方向的坐标方差的平方和
与坐标系无关
一、点位中误差
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
s s 纵向误差 s u 横向误差
O
Ds
, y ) P( x
A
y
纵向、横向误差与角度距离的关系？
2 2
B
b
P
K = (Qxx - Qyy ) + 4(Qxy ) = 35.369
1 QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 135.384 2 1 QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 100.015 2
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
第十章 误差椭圆
一．点位中误差
二．点位误差的计算 三．误差曲线
四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的，
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
因此不可避免地带有误差。
A
O y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度；
E = s 0 QEE = 1.24 F = s 0 QFF = 0.95
QEE - Qxx j = 137 / 317 tan j E = = -0.932 E Qxy QFF - Qxx j = 47 / 227 tan j F = = 1.037 E Qxy
二、点位任意方向的位差
二、点位任意方向的位差
Dj = pp¢¢ + p¢¢p¢¢¢ = Dx cosj + Dy sin j
Q Qxx Qxy cos cos sin Q Q sin yx yy Qxx cos2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
不同的 j 角，有不同的协因数， 即有不同的位差。 求解协因数的极值，即可求位差 的极值。 设极大值、极小值的权倒数分别为QEE , QFF
Qxx - l Qxy 解特征方程 QX =0 ˆX ˆ - lI = Qyx Qyy - l
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) 2
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大
小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
一、点位中误差
A 已知点 P 待定点的真位置 P’ 最或然点位(平差值)
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
- xü Dx = x ý - yþ Dy = y
——基于极值E、F为坐标系的任意方向 Ψ 上的位差
x
2 2 2 sY =s0 QYY = s 0 (QEE cos2 Y + QFF sin2 Y )
jE
E
Y
j
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
360° - j E
三、误差曲线
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
æ 132.874 -9.082 ö =ç ÷ 9.082 102.525 è ø
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
例5：求P点位差极大值及其方向
æ s2 s ç x xy ç s yx s y2 è ö æ ÷ = ç 132.874 -9.082 ö ÷ è -9.082 102.525 ÷ ø ø
y
A
O
y¢
K (Qxx Q yy ) 2 4(Qxy ) 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
jF 求位差极大值、极小值对应的j 角j E 、 j F 分别是 QXˆXˆ 的特征值 l1 = QEE jE 、
特征向量的方位角
满足特征向量方程 (Q ˆ ˆ - l I ) X = 0 XX 、l2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
æ 1.236 -0.314 ö 例3：已知某平面控制网中点 P 的协因数 QXˆXˆ = ç ÷ è -0.314 1.192 ø
ˆ0 = 1 s
，试求 E、F 和 jE
K = (Qxx - Qyy )2 + 4(Qxy )2 = 0.6295
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 1.528 2 1 l2 = QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 0.899 2
2 QFF
1 (Q xx Q yy K ) 2
2 s 2 E2 = s 0 QEE = 0 (Qxx + Qyy + K ) 2
2 s0 F = s QFF = (Qxx + Qyy - K ) 2 2 2 0
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
P 2 (s) 2 (u) 2
2 2 p s2 u s s 纵向误差 s u 横向误差
~
一、点位中误差
将坐标系O - xy 旋转一个角度j , 得另一个新坐标系O - x¢y¢ ,在新坐标 系中 P 点的点位真误差：
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds , y ) P( x
tan j E =
QEE - Qxx = -0.276 j E = 164°33¢ / 344°33¢ Qxy
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
QFF - Qxx tan j F = = 3.618 j F = 74°33¢ / 254°33¢ Qxy
一、点位中误差

2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
在间接平差中，设点的坐标为未知参数：
ˆ= X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X 1 1 2 2 u u
DP 2 = Dx 2 + Dy2
2 x 2 y 2
A
点位真位差
~
O
y
E[(x E ( x)) ] E[(x x) 2 ] E[x 2 ] E[( y E ( y)) ] E[( y y) ] E[y ]
2 2 2
2 2 2 P E(P2 ) E((x)2 ) E((y)2 ) x y
æ dx ö æ cosa -1000Dy / r öæ dS ö P AB AP ç ÷ ç ÷ = ç dy ÷ ç sin a ÷ç d b ÷ 1000 D x / r ø AB AP è P ø è øè æ 0.266 -2.804 öæ dS ö =ç ÷ç d b ÷ 0.964 0.774 è øè ø æ s2 s ö æ æ 100 0 öæ 0.266 0.964 ö ç x xy ÷ = ç 0.266 -2.804 ö ÷ç ÷ç ÷ 2 ÷ ç s yx s y 0.964 0.774 0 16 2.804 0.774 è øè øè ø è ø
E
Y
P
y
F
四、误差椭圆
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
E
Y
P D
o
y
F