三、精度估计的标准
[例4] 设对某量进行两组观测，其真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1
求两组观测值得平均误差和中误差，并比较两组观测值的精度
三、精度估计的标准
[例5] 已知导线测量中，距离观测值是 500 m ，
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2

参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
角度中误差是 1 ，
求边长观测值以什么样的精度才能与点位的横向误差匹配
第二章 误差分布与精度指标
一．偶然误差的特性
二．精度、准确度和精确度
三．衡量精度的指标
四．测量的不确定性
五．练习
测量平差的基本任务
处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的 最佳估计，并评定测量成果的精度。
基本数学概念
数学期望：随机变量取值的概率平均值 E ( X ) 方差：
D( X ) E[ X E( X )]2
极限误差的作用：区别误差和错误的界限。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
举例1：
m1 2.5
m2 3.2"
三、精度估计的标准
5、相对误差
相对误差 K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通 常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:
K m D 1 D m
1、偶然误差
i E(li ) li
偶然误差间的相互差异与对应观测值之间的相互差异相同 ，故观测值与它所带有的偶然误差具有类型一致的分布——正 态分布。偶然误差又称随机误差
1 1 2 f ( ) exp 2 ( ) 2 2
L E ( L ) 2 f ( L) exp 2 2 2 1
2


5 1.253 2 4
[| |] ˆ n
三、精度估计的标准
2、平均误差
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的平均误差。
三、精度估计的标准
2、平均误差
解：第一组观测值的平均误差：
0 2 1 3 4 3 2 1 2 4 1 2.2" 10
解：
K1 m1 m K2 2
0.01 1 D1 100 10000 0.01 1 D2 200 20000
三、精度估计的标准
5、相对误差
[例2] 用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是 ±2cm，但不能认为两者的精度是相同的
前者的相对中误差为0.02／200 ＝1／10000
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
实例


三角形内角和真误差
在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。
i= 180 - i - i - i (i = 1,2,3,........358)
7 2 2 0 6 5 8 5 10 6 3 12 0 1 4 2 16 1
第二组观测值的平均误差：
1 2 6 0 1 7 1 0 3 1 2 2.2 10
1 2 ，无法评价观测精度
说明：中误差在评价观测精度比平均误差灵敏
三、精度估计的标准
3、或然误差
或然误差 定义为：误差出现在 ( , ) 之间的概率为1/2 1 f ()d 2 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为 0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系： 2 0.6745 3 或然误差计算：1 通过中误差计算； 2 误差按绝对值大小排列，取中数
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
~ i Li Li 真误差的定义： ~ Li : 真值，Li : 观测值
真值通常是无法测知的，一般以被观测量的数学期望表示其真 ~ E ( L) L 值，
E ( L) L
误差类型是偶然误差
~ E() E( Li ) E( Li ) 0
一、偶然误差特性
n

n
ˆ mm

n
式中：
2 2 2 2 ... 1 2 3 n , i li x
中误差的理论值 m 和估值 m ˆ
本课程不区分理论值和估值，统称中误差
三、精度估计的标准
1、中误差
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。
准确度：
测量结果与真值的接近程度， 系统误差的影响程度
偶然误差的标准差
平均值与真值的偏差
二、精度、准确度和精确度
2、精度——偶然误差
精度：指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的 密集或离散程度。 D( L) E[ L E( L)]2
如果两组观测误差分布相同，则其精度相同，反之亦然； 同一观测条件下进行的一组观测对应着同一误差分布，这组 的每个观测值都是等精度观测，而不论其个别误差是大是小
协方差：两随机变量 X, Y 的相关程度 XY E[( X E( X ))(Y E(Y ))]
一、偶然误差特性
1、偶然误差
在一定的观测条件下进行了一系列观测，如果观测的误差是 随机误差，且误差的算术均值随观测次数的增加而趋于零，这种 误差称为偶然误差。偶然误差是均值为零的随机误差。
三、精度估计的标准
评定精度的标准
中误差 平均误差 评定精度的标准
或然误差
容许误差
相对误差
三、精度估计的标准
1、方差和中误差
误差满足正态分布：
2 f () exp( ) E[( X E ( X )) ] E (
2
) lim
二、精度、准确度和精确度
3、准确度——系统误差
准确度：随机变量真值与其数学期望的差值。
L E(L) 真值 数学期望
~
准确度是衡量系统误差大小程度的指标
二、精度、准确度和精确度
4、精确度——偶然误差和系统误差的合成
观测值的均方误差。
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成
~2 MSE( L) E( L L )
二、精度、准确度和精确度
测量平差的主要任务之一，就是评 定测量成果的精度。如何正确理解“精
度”的含义以及怎样衡量精度的高低？
二、精度、准确度和精确度
1、误差对观测结果的影响
L
L
系统误差
li
L L
li
偶然误差
精密性：观测数据的离散程度， 取决于偶然误差的影响
精密度：
重复测量时，测量结果的分散性
准确性：观测数据的准确程度， 取决于所有误差总的影响
n
n
[] E ( ) lim n n
2
中误差
三、精度估计的标准
1、方差和中误差
定义：在相同条件下，对某量（真值为 X ）进行 n 次独立观测 ，观测值 l1， l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2， ……，Δn，则中误差 m 的定义为：
m lim
中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。
三、精度估计的标准
举例2
有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m、15mm， 试估计这个观测值的实际可能范围？并求出该观测值得相 对中误差。
三、精度估计的标准
5、相对误差
[例1] 已知：D1=100m, m1=±0.01m，D2=200m, m2=±0.01m ，求： K1, K2
合计
181
0.506
177
0.494
358
1.000
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
实例


频率直方图
-24 -21 -18 -15
-12
-9
-6
-3
0
+3
+6
+9 +12 +15 +18 +21 +24
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不
会超过一定的限值； P(| | 限 ) 0 集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的概率大；P(| 小 |) P(大 ) 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相
2 L
~2 MSE( L) ( E( L) L )
偶然误差 系统误差
二、精度、准确度和精确度
测量值与真值之差为随机误差和系统误差之和；
随机误差体现为精密度；如果随机误差减小(精密度
高), 则准确度主要取决于系统误差；所以精密度高
是精确度高的前提。高的精密度不一定保证高的精确
度。
结论：精密度是精确度的基础
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5