高中圆与直线专项突破（一）一、单选题1．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A ．e eB ．e e- C ．e e- D ．11e e+-2．已知直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22154x y +=至多有一个公共点，则z m=+的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．⎡⎣D ．(),2,⎡-∞+∞⎣3．Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，AB =4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ）A ．2,2]B ．(4,2]C ．2,2]D ．2,2]4．在平面上，12AB AB ⊥，12||||1OB OB ==，12AP AB AB =+，若1||2OP <，则||OA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．16．已知直线l 与椭圆221:184x y C +=切于点P ，与圆222:16C x y +=交于点AB ，圆2C 在点AB 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ ∆的面积的最大值为（ ）A ．B ．2CD ．17．已知圆C:x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的取值范围是( )A ．[3) B ．[3，C ．[3]D ．[3，二、解答题8．已知线段AB 的端点B 的坐标是()2,0，端点A 在圆()22:28N x y ++=上运动，AB 的中点P 的轨迹为曲线T ，圆心为()3,1C -的圆C 经过点B ．（1）求曲线T 的方程，并判断曲线T 与圆C 的位置关系；（2）过x 轴上一点G 任作一直线（不与x 轴重合）与曲线T 相交于M 、S 两点，连接BM ，BS ，恒有MBG SBG ∠=∠，求G 点坐标．9．已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T（T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系； （3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半120+=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．11．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点.（1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交. 12．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --. （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程； （3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.13．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当2AOB π∠=时，求k 的值；（2）若12k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ､PD ，切点为C ､D ，探究：直线CD 是否过定点.14．已知圆2221:24540C x y mx my m +--+-=，圆222:1C x y +=（1）若圆1C 、2C 相交，求m 的取值范围；（2）若圆1C 与直线:240l x y +-=相交于M 、N 两点，且5MN =，求m 的值；（3）已知点(2,0)P ，圆1C 上一点A ，圆2C 上一点B ，求PA PB +的最小值的取值范围．三、填空题15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆22:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，点P 坐标为(，则32PB PA -的取值范围为__________16．已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.17．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.参考答案1．A 【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 【详解】依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e x e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e x e e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12ln 22x f x x e e x ⎛⎫=-++⎪⎝'⎭()ln 122x x e xe ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令'0f x解得x e =，由于'2ln 1ln x xx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知当()0,x e ∈时，ln x x 递增，(),x e ∈+∞时，'ln 0x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ln x x 递减，故当x e =时取得极大值也是最大值为1e ，故ln 10x x e -≤，故()0,x e ∈时，0x e -<且ln 10x x e-<，所以()'0f x <，函数单调递减.当(),x e ∈+∞时，()()2'22ln 1x x f x x -+⎡⎤=⎣'⎦，()2'2121ln 12x x x x x x--+=-=，当x e >时，()'2ln 10x x -+>，即2ln 1x x -+单调递增，且22ln 10e e e -+=>，即()'0f x ⎡⎤⎦'>⎣，()'fx 单调递增，而()0f e '=，故当(),x e ∈+∞时，()'0f x >函数单调递增，故函数在x e =处取得极小值也是最小值为()211f e e =+，故PC =此时1PQ =-=.故选A.【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 2．D 【分析】由直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22154x y+=至多有一个公共点，即联立方程0∆≤，化简整理得225144m k -≥，即可理解为双曲线225144m k -=外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到2z m =+的取值范围. 【详解】联立方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理得：222(54)105200k x kmx m +++-=因为直线l ：y kx m =+与椭圆C ：22154x y+=至多有一个公共点，所以222(10)4(54)(520)0km k m ∆=-+-≤，即225144m k -≥，即点(,)m k 满足双曲线225144m k -=外部的点，即可行域，如图所示，m 为x 轴，k 为y轴，将2z k m =+变形为k =+，平移直线k m =，由图可知，当直线k =与双曲线225144m k -=相切时为临界条件.联立225144k m k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简整理得：224240m zm z -+-= 由题知，222(4)4(24)8160z z z ∆=--=-=，解得z =若可行域是双曲线225144m k -=右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即z ≥ 若可行域是双曲线225144m k -=左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即z ≤综上可知，z m =+的取值范围是(),2,⎡-∞+∞⎣故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题. 3．C 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D 的坐标(,)D x y ，然后分析点D 的位置，利用直线的夹角公式，求得点D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；(0,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；当点D 可能在直线AB 的上方；直线BD 的斜率1yk x=；直线AD的斜率2k =由两直线的夹角公式可得：2121tan12011k kk k x-=⇒=+⋅化简整理的22((1)4x y ++=可得点D 的轨迹是以点1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD 的最短距离为：22CM r -== 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D的轨迹方程：22((1)4x y +-= 此时点D 的轨迹是以点N为圆心，半径2r 的圆，且点D在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD 的最大距离为：22CN r +==所以CD 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题. 4．C 【分析】以点A 为坐标原点，1AB 、2AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设1AB a =，2AB b =，设点O 的坐标为(),x y ，由由121OB OB ==以及12OP <，可得出关于x 、y 的等式或不等式，从中求出22x y +的取值范围可得出OA 的取值范围.【详解】根据条件知A 、1B 、2B 、P 构成一个矩形，以点A 为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设1AB a =，2AB b =，设点O 的坐标为(),x y ，则点P 的坐标为(),a b ，2OA x =121OB OB ==得()()222211x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 又12OP <，得()()2214x a y b -+-<，可得221114x y -+-<，2274x y ∴+>，又()221x a y -+=，知21y ≤，同理可得21x ≤，得222xy +≤2OA <≤， 因此，OA的取值范围是2⎛ ⎝，故选C.【点睛】本题考查平面向量的模长以及不等式的应用，难点在于将向量模的取值范围转化为不等式的取值范围，并利用数形结合思想来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．B 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值.【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2b OE =由1a b +=1=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即k =所以切线方程为044x y --=或044x y +-=所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 6．A 【分析】设点()00,P x y ，(),Q m n ，利用四点Q ，A ，O ，B 共圆，求得以OQ 为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线AB 的方程，直线与过点P 的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得02m x =,04n y =，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值． 【详解】设0(P x ，0)y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，可得以OQ 为直径的圆，方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，联立圆222:16C x y +=，相减可得AB 的方程为160mx ny +-=， 又AB 与椭圆相切，可得过P 的切线方程为00184x x y y+=，即为0024160x x y y +-=， 由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设0x α=，02sin y α=，02απ<， 即有m α=，8sin n α=，可得220016cos 16sin 16OP OQ mx ny αα⋅=+=+=，且||8OP cos =||32OQ =，即有1||||sin 2OPQ S OP OQ OP ∆=<，221(||||)()2OQ OP OQ OP OQ >=-=sin 2|22α==，当sin 21α=±即4πα=或34π或54π或74π时，OPQ S ∆的面积取得最大值故选A ．【点睛】本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题． 7．B 【分析】根据点A 在原点及在x 轴极限远的特殊位置，求得PQ 的取值范围． 【详解】当A 在坐标原点时，sin ∠POC=3∴由22sin cos =1POC POC ∠+∠ 可得cos ∠∴sin ∠POQ=sin2∠POC=2sin ∠POC cos ∠即∴sin ∠∴cos ∠PCQ=59-此时PQ =3==当点A 在x 轴上无限远时，PQ 值接近直径所以PQ 的取值范围为[3，所以选B 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，结合余弦定理求得最值，注意极限位置的用法，属于难题．8．（1）222x y +=，相离；（2）(1,0).【分析】（1）设出,P A 的坐标，利用P 是线段AB 的中点，确定,P A 坐标之间的关系，根据点A 在圆N 上运动，可得线段AB 的中点P 的轨迹，即曲线T 的方程，再利用题设写出圆C 的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线T 与圆C 的位置关系；（2）先由图像分析，过点G 的直线与曲线T 相交于M S 、两点，要满足MBG SBG ∠=∠，可知点G 必在圆内，设点(,0)(G a a <<，过点G 的直线分类讨论两种情况：①当直线的斜率不存在时，显然有MBG SBG ∠=∠；②当直线的斜率存在时，设直线的方程:()(0)l y k x a k =-≠，由题意知，要MBG SBG ∠=∠，即0MB SB k k +=，联立方程得：222()x y y k x a ⎧+=⎨=-⎩，化简得22222(1)220k x ak x k a +-+-=，再利用韦达定理代入，化简整理得1a =，从而得到点G 点坐标为(1,0) 【详解】（1）设点P 坐标为(),x y ，A (),m n ，P 是线段AB 的中点，且()2,0B ，由中点坐标公式得：2202m x n y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即222m x n y =-⎧⎨=⎩， 又点A 在圆()22:28N x y ++=上运动，()22222(2)8x y ∴-++=，化简得222x y +=所以曲线T 的方程为：222x y +=又圆C 的圆心为()3,1C -，设圆C 方程：()2223(1)x y r -++=又圆C 经过点B ()2,0，代入圆C 方程得22r =， 所以圆C 方程：()223(1)2x y -++=12r r =>+=所以曲线T 与圆C 的位置关系是相离.（2）如图所示，若点G 在圆外，直线与曲线T 相交的两点M S 、在点G 的同侧，有MBG SBG ∠≠∠，所以点G必在圆内.设点(,0)(G a a <<，过点G 的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有MBG SBG ∠=∠；当直线的斜率存在时，设直线的方程:()(0)l y k x a k =-≠，联立方程得：222()x y y k x a ⎧+=⎨=-⎩，化简整理得22222(1)220k x ak x k a +-+-=设1122(,),(,)M x y S x y ，则212221ak x x k +=+，2212221k a x x k -=+, 由题意知，MBG SBG ∠=∠，则直线MB ，SB 的倾斜角互补，即0MB SB k k +=则1212+022y y x x =--12(,x x << 将1122(),()y k x a y k x a =-=-代入上式可得1212()()+0(0)22k x a k x a k x x --=≠--所以1212+022x a x ax x --=--，化简整理得12122(2)()40x x a x x a -+++= 即22222222(2)4011k a ak a a k k -⨯-++=++，解得1a =，所以G 点坐标为(1,0). 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，圆与圆的位置关系，圆的几何性质，直线与圆相交的题型，考查学生的转化思想与运算能力，属于难题. 9．（1；（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）连接1O O ，利用1Rt OO T ∆可求1OO T ∠的正弦值.（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标. 【详解】（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT O T ⊥.又1OO ==在1Rt OO T ∆中，1OT =，故1sin 13OOT ∠==. （2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等，=46130a b +-=，故,a b 的关系为46130a b +-=. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等， 所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l的距离，=即()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，所以()()()()22222322320m n k mn m n k n m ⎡⎤---+--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦对无穷多个k 恒成立.故()()()()22223023020m n mn m n n m ⎧--=⎪⎪+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者1252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线圆的位置关系中的相切问题、定点问题以及动点的轨迹问题，注意直线与圆相切可用圆心到直线的距离等于半径来刻画，直线与圆相交后的弦长问题可用垂径定理来考虑，本题属于难题.10．(1) 2211612x y +=;(2)12k k 为定值127-. 【解析】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于,,a b c 的方程组，过得,,a b c ，从而得到椭圆的方程；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程消去x ，得到关于y 的方程，再利用韦达定理得到12,y y 之间的关系，从而得到12k k 的关系．试题解析：（1）由题意得2221,2,,c a b a b c ===+解得4,{2,a b c ===故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由221,{16123,x y x my +==+ 得22(34)18210m y my ++-=．∴1221834m y y m -+=+，1222134y y m -=+， 由A ，P ，M 三点共线可知，111643M y y x =+，所以112834My y x =⋅+； 同理可得222834N y y x =⋅+ 所以1291616493333N M N My y y y k k =⨯=--121216(4)(4)y y x x =++．因为1212(4)(4)(7)(7)x x my my ++=++212127()49m y y m y y =+++，所以121221212167()49y y k k m y y m y y =+++222221161234211877493434m m m m m -⨯+==---⨯+⨯+++． 考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式AB ＝2121k x x +-或AB ＝解决，往往会更简单．11．（1）216x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）本题首先可以设点()0,0E x 、()00,G y ，然后根据点E 是2GC 的中点求出()0,8G ，最后根据点F 是OG 的中点求出()0,4F 以及8p =，即可求出抛物线的方程；（2）本题首先可设()11,B x y 、()22,A x y 、()11,D x y -，然后通过联立直线AB 的方程与抛物线方程求出1264y y =，通过联立直线AD 的方程与抛物线方程求出212y y n =，从而得出8n =-以及直线AD 的方程必过定点()0,8-，最后通过圆2C 与y 轴交于定点()0,8-以及直线AD 不可能是y 轴即可证得直线AD 与圆2C 相交. 【详解】（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点， 所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -， 设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =，设直线AD 的方程为y mx n =+， 联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-，且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴， 因此，直线AD 与圆2C 相交. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法以及抛物线、圆、直线的综合问题，考查中点坐标公式以及韦达定理的灵活应用，考查抛物线与直线相交的相关问题，考查计算能力，体现了综合性，是难题.12．（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()221436x y +++=；（3）存在；定点()1,4R时，定值为2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQ PR λ=，根据切线长定理及两点间距离公式表示出22,PQPR ，代入22PQPRλ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144,a b λλλλ--==，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQPR的值. 【详解】（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线； 当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+， 即40kx y k -+-=，∴圆心O1=，解得158k =， ∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为1x =-或158170x y --=. （2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为d ==∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，22PQ PR λ=∵点P 在圆M 上，∴()()221436x y +++=，则222819x y x y +=--+∵PQ 为圆O 的切线，∴OQ PQ ⊥，∴222211PQ PO x y =-=+-，()()222PR x a y b =-+-，∴()()22221x y x a y b λ⎡⎤+-=-+-⎣⎦即()2228191281922x y x y ax by a bλ--+-=--+--++整理得()()()()2222288218190*a x b y a b λλλλλλλ-+++-+++---=若使()*对任意x ，y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-++=⎧⎪-++=⎨⎪---=⎩，∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得2214418190λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简整理得23652170λλ-+=，解得12λ=或1718λ=， ∴1214a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴存在定点()1,4R ，此时PQ PR为定值2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时PQ PR. 【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题. 13．（1）k =；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分析可得点O 到l的距离12d ===，解可得k 的值，即可得答案；（2）由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，C 、D 在圆22:2O x y +=上可得直线C ，D 的方程，即可求得直线CD 是否过定点．【详解】解：（1）根据题意，圆O 的方程为222x y +=，其半径r =直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，若2AOB π∠=，则点O 到l的距离1d ==，1=，解得：k =（2）由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设1(,2)2P t t -，以OP 为直径的圆的方程为：1()(2)02x x t y y t -+-+=，即221(2)02x y tx t y +---=，又C 、D 在圆22:2O x y +=上，即CD 为两个圆的公共弦所在的直线， 则CD 的方程为：1(2)202tx t y +--=，即()2(1)02yx t y +-+=，令0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩可得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即直线CD 过定点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式、圆的切线、直线方程和直线恒过定点，考查化简计算能力．14．（1）m <<m <<； （2）0m =或85m =； （3）3,⎫-+∞⎪⎪⎣⎭. 【分析】（1）由圆1C 、2C 相交，则121212||||r r C C r r -<<+，即可求解m 的取值范围；（2）由1C 到直线l ，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，即可求解m 的值；（3）通过作圆2C 的对称圆3C ，找到B 的对称点1B ，然后将||PA PB +转化为11||||PA PB B A -=，转化为圆1C 与圆3C 上两个动点之间距离，最后通过圆心距与两圆半径解决即可． 【详解】解：（1）已知圆2221:24540C x y mx my m +--+-=，圆222:1C x y +=，圆1C 的圆心为1(,2)C m m ，半径12r =， 圆2C 的圆心2(0,0)C ，半径为21r =，因为圆1C 、2C 相交，所以圆心距121212r r C C r r -<<+，即13<<，解得：m <<m <<.（2）因为圆1C 与直线:240l x y +-=相交于M 、N 两点，且MN =，而圆心1(,2)C m m 到直线:240l x y +-=的距离d =，结合22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2(54)4455m -+=， 解得：0m =或85m =. （3）已知点(2,0)P ，圆1C 上一点A ，圆2C 上一点B ， 由向量加减运算得()PA PB PA PB +=--，由PB -联想到作出圆222:1C x y +=关于定点(2,0)P 的对称圆223:(4)1C x y -+=，延长BP 与圆3C 交于点1B ，则1PB PB -=，所以11()PA PB PA PB PA PB B A +=--=-=，即1PA PB B A +=就是圆1C 上任一点A 与圆3C 上任一点1B 的距离，所以113minmin33PA PBB AC C +==-=33==即当45m =时，min 33PA PB +==-，所以PA PB +的最小值的取值范围是3,⎫-+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系的应用，涉及直线与圆的弦长、两点间的距离等知识，考查转化思想和计算能力.15．【分析】设32PB PA PM -=，则3PM PA AB -=，即3AM AB =，求出CM 的长度得出M 的轨迹，从而得出PM 的范围. 【详解】解：32333PB PA PB PA PA AB PA -=-+=+，设32PB PA PM -=，则3PM PA AB -=，即3AM AB =，A ，B 是圆22:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，∴ABC 是边长为2的等边三角形，过C 作AB 的垂线CN ，则N 为AB 的中点，∴CN =5MN =，∴CM ==.∴M 的轨迹是以C 为圆心，以为半径的圆，又()42PC =-=∴37PM ≤≤故答案为：.【点睛】本题考查平面向量、圆的方程，轨迹方程，构造PM 是解本题的关键，属于难题.16．⎝⎭【分析】①当直线l 斜率不存在时，易求得0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，利用直线与圆有交点可求得2244m k <+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE →→=和22248AE AP +=可整理得到12x x +，12x x ，12y y +，12y y 满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m =-；当0m =时，知0M x =；当0m ≠时，可将M x 表示为关于k 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】 设(),M M M x y ，①当直线l 斜率不存在时，直线方程为:0l x =，此时()0,2P -，()0,2Q ，2PQ QE →→=，()0,4E ∴，2448AE ∴=+=，241620AP =+=，满足22248AE AP +=，此时0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，l 与圆O有两个不同交点，2<，即2244m k <+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m km k k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==；当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k+-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k <<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在⎝⎭上单调递减，M x ∴∈⎝⎭， 综上所述：弦PQ 中点M的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案为：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求. 17．m ≤【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】==设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又QB ==，故()f α的最大值为2.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()maxm f α≤=m ≤故答案为：m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.。