“直线与圆”单元测试
一、选择题
1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( )
A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3，
设倾斜角为α，则tan α＝－3，
又∵0≤α<π，∴α＝2π3
.
2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为 1， 2， 3，则必有( )
A ． 1＜ 2＜ 3
B ． 3＜ 1＜ 2
C ． 3＜ 2＜ 1
D ． 1＜ 3＜ 2
解析：选D 由图可知 1＜0， 2＞0， 3＞0，且 2＞ 3，所以 1＜ 3＜ 2.
3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋y 2＝1
B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
C ．x 2＋(y －1)2＝1
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2
＝1.
4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )
A ．2x ＋y －8＝0
B ．2x －y －8＝0
C ．2x ＋y ＋8＝0
D ．2x －y ＋8＝0 解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0，
∵该直线与直线x －2y ＝0垂直，
∴ ＝2＋λ1＋λ＝－2，解得λ＝－43
. ∴所求的直线方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－43x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－43y ＋4＋5×－43＝0， 即2x ＋y －8＝0.
5．已知直线l 1：x ＋2y ＋t 2
＝0和直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0，则当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为( ) A ．1 B.12
C.13 D ．2
解析：选B ∵直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0，
即x ＋2y ＋2t －32＝0.
∴l 1∥l 2，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－2t －3212＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋5
4
5≥5
4，当且仅当t ＝1
2时取等号．
∴当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为1
2.
6．已知直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，则直线l 1在x 轴上的截距是(
) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ∵直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，
∴a ＋3＋a －1＝0，解得a ＝－1，
∴直线l 1：2x ＋y －4＝0，
∴直线l 1在x 轴上的截距是2.
7．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x －2y －1＝0
D ．x ＋2y ＋1＝0
解析：选B 由题意可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，0关于y 轴的对称点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，0在反射光线所在的直线上，
又点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，
则两点式求得反射光线所在的直线方程为y －1
0－1＝x －0
12－0，即2x ＋y －1＝0.
8．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －2)2＋()y －12
＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2
＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
D.()x －32＋(y －1)2＝1 解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，
又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5
＝1，解得a ＝2， 故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.
二、填空题
9．已知直线l 过点A (0,2)和B (－3，3m 2＋12m ＋13)(m ∈R)，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．
解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
则tan θ＝3m 2＋12m ＋13－2
－3－0＝－3(m ＋2)2＋33≤33
. 因为θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π 10．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为__________．
解析：如图，
把A (－1，－2)，B (2,3)分别代入直线l ：x ＋y －c
＝0，
得c 的值分别为－3,5.
故若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，
则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为[－3,5]．
答案：[－3,5]
11．已知直线x ＋y －3m ＝0与2x －y ＋2m －1＝0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围为________．
解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋13，
y ＝8m －13.
∵两直线的交点在第四象限，
∴m ＋13>0，且8m －13
<0， 解得－1<m <18
， ∴实数m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－1，18. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，18 12．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是______________．
解析：因为圆C 与两坐标轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，
所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，
所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1. 因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，
所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22
－1，1－22， 所以切线方程为y －1＋
22＝x －22＋1， 整理得x －y ＋2－2＝0.
答案：x －y ＋2－2＝0
三、解答题
13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：
(1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；
(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．
解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，
由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2
， 即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32
＝2. BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，
由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y
2＝1，即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率 1＝－12
， 则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率 2＝2.
由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，
即2x －y ＋2＝0.
14．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2
＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .
(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；
(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，
设P (a,2a )，则a 2＋ 2a －4 2＝2，
解得a ＝2或a ＝65， 所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，125. (2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，
其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，
整理得x 2＋y 2
－bx －4y －2by ＋8b ＝0，
即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝165，
所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.。