0 0

2
1 0 2
1 2
0
3
1
2
2 0
2 sin x
1
什么发 生了变 化
0
0
2
1 2
0
0
2
sin x
0
y 2 1 o π 6 -1 -2
2
y=2sinx y＝sinx y＝ 1 sinx 2

3 2
2
x
上述变换可简记为:
y＝sinx的图象
各点的纵坐标伸长到原来的2倍
y＝2sinx的图象
横坐标缩短到原来的1/2 y=sin(2x+ π/3)的图象 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步: y=sin(2x+ π/3)的图象 (横坐标不变) y
第2步:y=sin(x+π/3)的图象倍
3 2 y=sin(x+π/3)


y=3sin(2x+ π/3) y=sinx o
结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长 (当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω 倍(纵坐标不变)而得到. 注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横 向伸缩(可简记为:小伸大缩).
巩固练习: 2.函数y=sin3x的周期是多少?它的图象是由y=sinx 的图 象作什么变换而得到?
§4.9 函数y=Asin(ωx+φ) 的 图象
引入： 函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么特征？ A,ω,φ对图象又有什么影响? 如何作出它的图象？ 它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？
例1.作y=2sinx, y＝
想一想?
x sin x
1 sinx 的简图，并与y＝sinx的图象进行比较 2

倍 ( 纵 坐 标 不 变 ),
再 把 所 得 各 点 向 左(当 0时 )或 向 右(当 0
时 )平 行 移 动 | | 个单位 , 再把所得各点的纵坐
标 伸 长 ( 当 A 1时 )或 缩 短 (当 0 A 1时 )到 原 来 的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ).
启发过渡： A引起图象的纵向伸缩，那么当ω发生变化时，会引起 什么变换呢？
例2.画出y＝sin2x ，y＝sin
解：先作函数y＝sin2x的图象。 其周期T＝______________ ω ＝π
x 0
1 x的简图，并与y＝sinx的图象比较。 2 2

2x
0

0
4

2
3
2

0
3
4

2
2
sin 2 x
解: T=2π/ω=2π/3 Y=sinx 各点的横坐标缩短到原来的1/3倍 (纵坐标不变) y=sin3x的图象
3.把正弦曲线y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的
1 Y=sin _ x 5 5倍(纵坐标不变),就得到函数______________的图象.
π π 例3.画出 Y=sin(x+ ) 和 Y=sin(x- ) 的简图(用图象变换法). 3 4 Y=sinx的图象 向左平移π/3个单位长度 Y=sin(x+π ) 的图象 3 Y=sin(x- π ) 的图象 Y=sinx的图象 向右平移π/4个单位长度 4 y Y=sin(x+π ) Y=sinx Y=sin(x- π ) 3 4 1
练习巩固
1 1.函数y＝ 3 sinx，y＝4sinx的振幅分别是多少？
解: 它们的振幅分别是1/3，4 把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/3 倍(横坐标不变)即得到y＝ 1 sinx的图象.
它们的图象是由y＝sinx的图象作怎样的变换而得到？
3
把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍 (横坐标不变)即得到y＝4sinx的图象.
1
第3步:
1 y=sin( 2 x
- )的图象 4
各点的纵坐标伸长到原来的3倍
(横坐标不变)
1 y=3sin( 2
x - 4 )的图象
练习7. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B )而得到. A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变. 想一想? 问题:把y=sin4x的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(4x+ 3 )的图象?
y sin(x ) y A sin(x )
振幅变换
函 数 y A sin( x ), x R ( 其 中 A 0 , 0 ) 的 图 象 , 也 可 以 看 作 用 如 下 方 法得 到 : 先 把 正 弦 曲 线 上 所 有 的 点 的 横 坐标 缩 短 (当 1时 )或 伸 长 ( 当 0 1时 )到 原 来 的 1
变换
2
y sin x y sin 2 x 振幅变换 y sin( 2 x ) y 3 sin( 2 x ) 3 3
周期变换 平移变换
变换
2
y sin x y sin x
周期变换 平移变换
o
3 4
2

3 2
2
x
-1
结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx 的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ| 个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
注:φ 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改 变图象的形状.φ 叫做初相.
例4.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简 图. 7 解: x

2
1
3


6

3 2
2
x
-1 -2
y=sin(2x+ π/3)
-3
变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤:
左 右 ①把y=sinx的图象向___ (φ>0时)或向___(φ<0时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 缩短 伸长 ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1时)或___(0< ω<1时) 1/ω 到原来的___倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的 图象. 伸长 缩短 ③再把所得图象各点的纵坐标___(A>1时)或___(0<A<时) 到原来的_____倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) A 的图象.
y
1
1
0
想一想?
1
－π
Y＝sin2x Y＝sin1 x 2 Y=sinx

2
o -1

3 2
2
3π
4
x
上述变换可简记为:
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 Y=sinx的图象 y=sin2x的图象 (纵坐标不变) 各点的横坐标伸长到原来的2倍 Y=sinx的图象 y=sin 1 x的图象 2 (纵坐标不变)
(横坐标不变)
各点的纵坐标缩短到原来的1/2倍 1 y＝sinx的图象 y＝ sinx的图象 2 (横坐标不变)
结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx 的图象上的所有点的纵坐标伸长（A>1时) 或 缩短 (0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。

课堂小节:
1.Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫 伸缩 初相.A,ω的变化引起______变换,φ的变化引 平移 起______变换.
变换的关键是看x发生了怎样的 变化!!!
作业:P68 第1题 第2题 （2） （3）(要求用“五点作图法”)
第3题 （1）
补:1 把y sin x的图象向右平移
2x
5 6

3
6
0

12
3
2

3 2
12
2
3sin(2x+π/3) y 3 2
0
3
0
-3
0
1



3

oπ 6 12 -1


2

3 2
2
x
-2 -3
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩): y=sinx的图象向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象 第1步:
课堂练习:
6.如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 2 x - )的图象? 4
1
解:
向右平移π /4个单位长度
第1步: y=sinx 的图象
y=sin(x - )的图象 4
第2步: y=sin(x - )的图象 4
各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)
Hale Waihona Puke y=sin( 2 x - )的图象 4

个单位，再将图象上每点
4 的横坐标缩为原来的一半，可得函数_______的图象 1 2. 把y sin x的周期缩小到原来的 ，再将所得图象 2 向右平移 个单位，可得函数_______的图象 4