第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念课时作业1 集合的概念知识点一 集合的概念1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C解析 对于A ，“著名”无明确标准；对于B ，“快”的标准不确定；对于D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对于C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合．2．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a (a >0)，－a (a ＜0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①②正确；③④⑤不正确． 4．集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 答案 0,1,2解析∵63－x∈N，x∈N，∴当x＝0时，63－x＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，63－x＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，63－x＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时，63－x＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.知识点三集合中元素特性的应用5.已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值．解分两种情况进行讨论．①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0.当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意．②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0.由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.解得c＝－12或c＝1(舍去)，当c＝－12时，经验证，符合题意．综上所述，c＝－1 2.易错点忽视集合中元素的互异性致误6.方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．正解x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a.若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a.一、选择题1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．正三角形的全体B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题D．不等式2x＋3>1的解答案C解析因为A，B，D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．因此选C.2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是()A．5B．6C．7D．8答案C解析根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.3．已知x，y都是非零实数，z＝x|x|＋y|y|＋xy|xy|可能的取值组成集合A，则()A．2∈A B．3∉AC．－1∈A D．1∈A答案C解析①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A由元素－1,3组成．∴－1∈A.4．下列说法中，正确的个数是()①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.A．0B．1C．2D．3答案C解析N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．5．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或－2 D．－2或－3答案C解析由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.6．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A，2∈A，则()A．a＞－4B．a≤－2C．－4＜a＜－2D．－4＜a≤－2答案D解析∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.二、填空题7．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“∉”)．答案∈解析直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.8．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.答案2或4解析若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a ＝2或4.9．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．答案201解析可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.三、解答题10．已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．解因为x2∈A，所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．综上所述，x＝－1.课时作业2 集合的表示知识点一 用列举法表示集合 1.用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集；(3)方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0的解集．解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15， 所以所求集合可表示为{1,3,5,15}． (2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10， 所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}． (3)解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝0.所以所求集合可表示为{(－3,0)}. 知识点二 用描述法表示集合 2.用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数的集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．3．用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合．解 用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0. 知识点三 集合表示法的综合应用4.用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.答案 {－2,2,4,5} 解析 ∵x ∈Z 且86－x∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x ＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}．5．已知集合A ＝{x |x <5且x ∈N *}，B ＝{(a ，b )|a ＋b 2＝1，b ∈A }，试用列举法表示集合B ＝________.答案 {(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)}解析 ∵x ∈N *，且x <5，∴x ＝1,2,3,4，∴A ＝{1,2,3,4}．又∵a ＋b 2＝1，且b ∈A ， ∴当b ＝1时，a ＝0；当b ＝2时，a ＝－3； 当b ＝3时，a ＝－8；当b ＝4时，a ＝－15. ∴B ＝{(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)}．6．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中只有一个元素，求a 的值． 解 应根据a 是否为0分两种情况进行讨论： ①a ＝0，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意；②a ≠0，则必须且只需Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1. 所以a ＝0或a ＝1.易错点 忽略元素形式而出错 7.下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }； ③方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0易错分析 ①易忽略代表元素x ∈N ，导致判断错误；②出错是对常用数集的符号理解不到位；③出错是对“方程组的解为有序实数对”这一点认识不到位．答案 D正解 由x 3＝x ，即x (x －1)(x ＋1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，因为－1∉N ，故集合{x∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}．故①不正确．集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R .故②不正确．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2.故③不正确．一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解组成的集合是( )A ．{2,1}B ．(2,1)C ．{(2,1)}D ．{－1,2}答案 C解析 先求出方程组的解⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.2．下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)} 答案 B解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}．3．－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 由题意可知(－5)2－a ×(－5)－5＝0，得a ＝－4，故方程x 2－4x ＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a ＝0}＝{2}，则其所有元素和为2.故选A.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…可表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N* D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N* 答案 D解析 ∵3＝31，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n ，则分子为2n ＋1，且n ∈N *，∴集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N *.5．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1x 2∈AB ．x 2x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A答案 D解析 由题意易知集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集．又由x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则x 1，x 2是奇数，x 3是偶数．对于A ，两个奇数的积为奇数，即x 1x 2∈A ，故A 正确；对于B ，一奇一偶两个数的积为偶数，即x 2x 3∈B ，故B 正确；对于C ，两个奇数的和为偶数，即x 1＋x 2∈B ，故C 正确；对于D ，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x 1＋x 2＋x 3∈B ，故D 错误．二、填空题6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 为________． 答案 (2,5)解析 由题知，a ∈A ，a ∈B ，所以a 是方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即a 为(2,5)．7．若集合A ＝{－2,2,3,4}，集合B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝________. 答案 {4,9,16}解析 当t ＝－2,2,3,4时，x ＝4,4,9,16，故集合B ＝{4,9,16}． 8．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x ，y )|x >0，y >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }与{y |y ＝x －1，x ∈R }是不相等的． 其中正确的是________(填序号)． 答案 ①③解析 对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x ，y )，所以①正确；对于②，方程x －2＋|y ＋2|＝0的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，解集为{(2，－2)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，所以②不正确；对于③，因为集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }等于集合{y |y ≥－1}，集合{y |y ＝x －1，x ∈R }等于R ，故这两个集合不相等，所以③正确．三、解答题9．设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3,1}，试用列举法表示集合B .解 将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0. 因为A ＝{－3,1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3,1.由根与系数的关系得⎩⎨⎧ －3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ， 解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－3.所以y ＝x 2＋3x －3.将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理得x 2＋6x －3＝0， 解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}．10．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集． (1)方程x 2(x ＋1)＝0的解组成的集合；(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合； (3)自然数的平方组成的集合．解 (1)由x 2(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝0，所以该集合可表示为{－1,0}．故该集合为有限集．(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．故该集合为无限集．(3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0,12,22,32，…}，用描述法可表示为{x |x ＝n 2，n ∈N }．故该集合为无限集．。