一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：43421Λan n a a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),mn m naa am n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()n n nab a b n Z =⋅∈其中m n m nm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a xn=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100Θ 0=；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ．5．例题分析：例1．求下列各式的值： （1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）()()b a b a >-2解：略。

例2．已知,0<<b a *∈>N n n ,1， 化简：()()n nn nb a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-=当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n nn nb a b a ++-22a n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数．例3．计算：407407-++解：407407-++52)25()25(22=-++=例4．求值：54925-+． 解：54925-+425254549252）（-+=-+=（二）分数指数幂1．分数指数幂：()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()nk kn aa =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即()()10,,r sr sa a aa r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：2a 3a .解：2a 11522222a a aa +⋅==；3a 211333a a a ⋅=；=1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；解（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()211115326236263a b+-+-⨯-÷-⎡⎤⎣⎦=044ab a =；（2） 83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=883184m n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2233m m n n -=．例3．计算下列各式： （1）（2)20a >．解：（1）231324555⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=213134245555÷-÷=5512455-= （22=5262132a a a a==．（三）综合应用例1．化简：11555x x x -+++.解：11555x x x -+++=15(1525)x -++=1315x -⨯=3155x⨯. 例2．化简：)()(41412121y x y x -÷-.解：11112244()()x y x y -÷-111111444444()()()x y x y x y =+-÷- 1144x y =+．评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即21241)(x x =，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。

例3．已知13x x-+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.解：（1）11222()x x-+Q 1111222222()2()x x xx --=++112x x -=++325=+=，∴1122x x-+=又由13x x-+=得0x >，∴11220x x -+>，所以1122x x-+=（2）（法一）3322x x-+113322)()x x -+＝（11111122222222()[()()]x x x x xx ---=+-+11122()[()1]x x x x --=++-1)=-=（法二）33222[()()]x x-+3333222222()()2x x x x---=++332x x -=++而33x x-+122()(1)x x x x --=++-∴33222()20x x -+=，又由130x x-+=>得0x >，∴33220x x-+>，所以3322x x -+==二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数及这两种情况下的图象和性质：例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）y =（3）3xy -= （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+． 解：（1）210x -≠Q ∴12x ≠原函数的定义域是1{,}2x x R x ∈≠， 令121tx =- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)ty t R t =∈≠得0,1y y >≠，所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．（2）11()02x-≥Q ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞， 令11()2xt =-(0)x ≥ 则01t ≤<，y =Q [)0,1是增函数 ∴01y ≤<，所以，原函数的值域是[)0,1．（3）原函数的定义域是R ，令tx =- 则0t ≤，3t y =Q 在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，所以，原函数的值域是(]0,1．（4）原函数的定义域是R ，由1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+得11x y a y +=--， 0x a >Q ∴101y y +->-， ∴11y -<<， 所以，原函数的值域是()1,1-．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

例2．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。

证明：由10xa -≠得，0x ≠， 故函数定义域{0}xx ≠关于原点对称。

∴()()f x f x -=-所以，函数11x x a y a +=- 是奇函数。

例3．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。

还应要求学生注意不同题型的解答方法。

（1）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则12122(22)(21)(21)x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x<即12220x x -<，又由20x>，得1120x +>，2120x +>，所以，12()()0f x f x -<即12()()f x f x <．因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22()2121x x a a --=--++变形得：2222(21)2(21)22121x x x x x x a -⋅+=+=+⋅++，解得：1a =，所以，当1a =时, ()f x 为奇函数。

三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

即baN =， log N b =说明：1．Θ在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）2．Θ对任意0>a 且 1a ≠, 都有 01a = ∴log 10a =，同样：log 1a a =．3．如果把ba N =中的b 写成log a N ， 则有 log a NaN =（对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换 例如：2416= 4log 162= 210100= 10log 1002=例1．将下列指数式写成对数式：（1）4525=； （2）61264-=； （3）327a=； （4）1 5.373m⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）5log 6254=； （2）21log 664=-； （3）3log 27a =； （4）13log 5.37m =． 3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底 10log N 写成 lg N②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ，log e N 写成 ln e ．例2．（1）计算： 9log 27，625．解：设x=9log 27 则 27x a =， 2333x =, ∴32x =； 令x=625，∴625x=, 44355x =, ∴5x =．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．解：①343x -==； ②22232121200,2xx x x x x x +-=-⇒+=⇒==-但必须：2222102113210x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪+->⎩， ∴0x =舍去 ，从而2x =-．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =． 解：①3535353(3)x---== ∴533x -=；②77888722x⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==, ∴2x =．4．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ? 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a MM N N=； （3）log log ()na a M n M n R =∈．例3．计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 37lg 214lg -+-lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；解法二：18lg 7lg 37lg214lg -+- =18)37(714lg2⨯⨯lg10==；（2）253lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===；（3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+=11332223(lg32lg 21)lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg10+-+-==⨯+-． 5．换底公式：log log log m a m NN a= ( a > 0 , a ? 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则xa N =，两边取以m 为底的对数得：log log xm m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m alog log log =． 说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m n a a nb b m=（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===． 例4．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+解：（1）原式 =0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例5．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）．解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 1218log 1818，∴18log 21a =-，又∵185b=， ∴18log 5b =，∴aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．例6．设1643>===t zy x ，求证：yx z 2111=-．证明：∵1643>===t zy x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-．例7．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．解：∵8log 3p =，∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ， 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3， ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ， ∴ pq pq 35lg )31(=+∴ pqpq3135lg +=．四、对数函数1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。