i = 1,2,L , n − 1 ．证明： β1 , β2 线性相关．
证：由 < α i , β j >= 0, i = 1,2,L , n − 1, j = 1,2 可知 β1 , β2 ∈ ( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ ． 因为 dim( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ = 1 ，所以 β1 , β2 线性相关． 例 ７． 设V1 ， V2 是 n 维欧式空间 V 的两个子空间，且 dim V1 < dimV2 ． 证明： 在 V2 中存在非零向量与 V1 中每个向量都正交．
⊥ 证明： 因为 V = V 所以 dim V1 + dim V1⊥ = dimV = n ， 已知 dim V1 < dimV2 ， 1⊕V 1 ，
故 dim V2 + dim V1⊥ > n ． 由维数公式，有
⊥ dim(V2 ∩ V1⊥ ) = dim V2 + dim V1⊥ − dim(V2 + V1⊥ ) ≥ dim V2 + dim V 1 − dim V > 0 ，
1 1 −1 1 A = 1 −1 −1 1 2 1 1 3
则 R4 中向量 ξ = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 与 (1,1, −1,1)T , (1, −1, −1,1)T , (2,1,1,3) T 都正交的充分 必要条件是 Aξ = 0 ． 解 得 ξ = k (4,0,1, −3) T ， k ∈ R ，单位化后的所求向量为 ± 1 (4,0,1, −3)T ． 26 例 ３ ．设α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，证明： （１）若对于 V 中任意向 量 γ ，都有 < γ , α i >= 0 ， i = 1,2,L , n ，那么 γ = 0 ； （２）若对于 V 中任一向量 α ， < γ 1, α >=< γ 2 ,α > ， γ1 , γ 2 ∈ V ，那么 γ1 = γ 2 ． 证明： （１）因为 α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，任一 α ∈V ，都可由
2 2 1 1 A = 2 −1 −2 ． 3 −1 2 −2
因为 AT A = E ，即 A 为正交阵，而已知 α1 , α2 , α 3 是三维欧式空间 V 的一个规范正 交基，所以 β1 , β2 , β3 也是这个欧式空间的一个规范正交基．
２
例 ６ ．设 n 维欧式空间 V 中向量 α1 , α 2 , L , α n−1 线性无关， β1 , β2 都和 α i 正交，
所以存在非零向量 α ∈ V2 ∩ V1⊥ ，因此 V2 中存在非零向量与 V1 中每个向量都正交． 例 ８． 设α ≠ 0 是 n 维欧式空间 V 中一个向量，证明： （１） V1 = {ξ | < ξ , α >= 0, ξ ∈V } 是 V 的一个子空间； （２） V1 的维数等于 n − 1 ． 证明： （１） 因为 < 0, α >= 0 ， 所以 0 ∈ V1 ， 即 V1 非空． 对 V1 中任意两个向量 ξ1, ξ 2 有 < ξ1 + ξ 2 , α >=< ξ1, α > + < ξ2 ,α >= 0 ，所以 ξ1 + ξ 2 ∈V1 ． 对 V1 中任意向量 ξ 及实 数 k 有 < kξ ,α >= k < ξ , α >= 0 ，所以 k ξ ∈ V1 ． 因此 V1 是 V 的一个子空间． （２） 将 α ≠ 0 扩充成 V 的一个规范正交基 α , α 2 , L , α n ， 易证 V1 = L (α 2 ,L ,α n ) ， 所以 V1 的维数等于 n − 1 ． 例 ９ ．设 V1 是 n 维欧式空间 V 的子空间， α ∈ V ．证明：在 V 中存在唯一的 向量 β ，使得 α − β 与 V1 中的每个向量都正交．
1 1 1 β1 = (2α1 + 2α 2 − α 3 ) ， β2 = (2α1 − α 2 + 2α 3 ) ， β3 = (α1 − 2α2 − 2α 3 ) ，证明： 3个欧式空间的一个规范正交基． 证明：由已知 ( β1 , β 2 , β 3 ) = (α1 ,α2 ,α3 ) A ，其中
| A+ E | = 0 ，因此 −1 是 A 的特征值．
（３）因为 A ， B 都是 n 阶正交矩阵，所以 AT B 也是正交阵．又因为 | AB |= −1 ， 由（１）可知 | AT B |= −1 ．于是，由（２）可知， −1 是 AT B 的特征值，| AT B + E |= 0 ， 因此 | A + B |=| A + AAT B |= | A || E + AT B |= 0 ． 例 ５ ． 设 α1 , α2 , α 3 是 三 维 欧 式 空 间 V 的 一 个 规 范 正 交 基 ，
⊥ ′ ′ ′ = α1 + α 2 ，由 V = V 1 ⊕V 1 可知 β = α1 , α − β = α 2 ，因此 β = β ，即这样的 β 是唯
一的． 例 １０． 设σ 是 n 维欧式空间 V 的一个线性变换，σ * 是 V 的一个变换，且对于 任意 α , β ∈V ，有 < σ (α ), β >=< α , σ * ( β ) > ．证明： （１）σ * 是 V 的一个线性变换， （２） Ker(σ ) = (σ *( V )) ⊥ ． 证明： （１） ∀α , β , γ ∈V , k ∈ R ，因为 < γ , σ * ( α + β ) >=< σ (γ ), α + β >= < σ (γ ), α > + < σ (γ ), β >=< γ , σ * (α ) > + < γ ,σ * ( β ) >=< γ , σ * (α ) + σ * ( β ) > ，所以 σ * ( α + β) = σ * (α ) + σ * ( β ) ．又因为 < α , σ * (k β ) >=< σ (α ), k β >= k < σ (α ), β > = k < α ,σ * ( β ) >=< α , kσ * (β ) > ， 所以 σ * ( k β ) = kσ * ( β ) ．因此， σ * 是 V 的一个线性变换． （２）因为对于任意 α , β ∈V ， < σ (α ), β >=< α , σ * ( β ) > ，所以 α ∈ Ker(σ ) ⇔ σ (α ) = 0 ⇔< σ (α ),V >= 0 ⇔< α , σ * (V ) >= 0 ⇔ α ∈ (σ * (V )) ⊥ ， 因此， Ker(σ ) = (σ *( V )) ⊥ ． 例 １１． 设 A 是一个 n 阶实矩阵．证明： A 为正定矩阵的充分必要条件是存在 一个可逆上三角矩阵 R ，使得 A = RT R ． 证明：若 A 是正定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使得 A = PT P ，由教材 ８．３ 节 习题 ８ 可知 P 可分解为 P = QR ，其中 Q 是一个正交矩阵， R 是一个可逆上三角 矩阵．于是 A = PT P = ( QR) T QR = RT QT QP = RT R ． 若 A 可分解为 A = RT R ， 其中 R 是一个可逆上三角矩阵， 则 A 与单位阵合同， 因此 A 是正定矩阵．
１
α1 , α 2 , L , α n 线 性 表 示 ． 由 < γ , α i >= 0 ， i = 1,2,L , n ， 可 知 < γ , α >= 0 ， 因 此
< γ , γ >= 0 ，从而 γ = 0 ．
（２） 若对于 V 中任一向量 α ，< γ 1, α >=< γ 2 ,α > ， 则 < γ 1 − γ 2 , α >= 0 ， 由 （１） 可知 γ1 − γ 2 = 0 ，即 γ1 = γ 2 ． 例 ４． 设 A ， B 都 是 n 阶 正 交 矩 阵 ， 且 | AB |= −1 ． 证 明 ： （１） | AT B |=| ABT |=| AT BT |= −1 ； （２）若| A |= 1 ，则 −1 是 A 的特征值； （３）| A + B |= 0 ． 证明：（１）| AT B |=| AT || B |=| A || B |=| AB |= −1 ，类似可证 | ABT |=| AT BT |= −1 ． （２）因为 | A + E |=| A + AT A |=| ( E + A T ) A |=| E + AT || A |= − | E + A | ， 所以
ker(σ ) 与 Im(σ ) 正交．又因为 dimV = n ， 所以 dimKer(σ ) + dimIm(σ ) = n ，故像
Im(σ ) 是核 ker(σ ) 的正交补．
例 １３． 设矩阵
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
４
例 １２． 设V 是一个 n 维欧氏空间，σ 是 V 的一个对称变换，证明： （１）σ 的 核 ker(σ ) 和像 Im(σ ) 都是 σ 的不变子空间； （２）像 Im(σ ) 是核 ker(σ ) 的正交补． 证明： （１） ∀α ∈ Im(σ ) ， 由 Im(σ ) ⊆ V 可知 α ∈ V ， 从而 σ (α ) ∈ Im(σ ) ， 故 Im(σ ) 是 σ 的不变子空间； ∀β ∈ ker(σ ) ，有 σ ( β ) = 0 ∈ ker(σ ) ，因此 ker(σ ) 是 σ 的不变 子空间． （２）∀α ∈ ker(σ ) ，有 σ (α ) = 0 ． ∀β ∈ Im(σ ) ，存在 γ ∈ V ，使得 β = σ (γ ) ． 因 为 σ 是 V 的一个对称变换，所以 < α , β >=< α , σ( γ ) >=< σ (α ), γ >= 0 ，因此子空间