广东省高级技工学校文化理论课教案（首页）（代号A—3）JSZ-024-2 共 5 页
科目高等数学授课
日期
2013年
12月25日
课
时
1
章节名称 2.3复合函数的导数（1）班级2013级高幼03班授
课方式讲练法、演示法、归纳法
作业
题数
3
拟用
时间
20分钟
教学目的1.理解复合函数的含义。
2.能够正确分析复合函数的结构并将复合函数拆解成
基本初等函数。
3.能够初步对简单的复合函数求导
选
用
教
具
挂
图
无
重点1.复合函数的结构分析
2.掌握复合函数求导的步骤
难
点
复合函数的结构分析
教学回顾基本初等函数类型
基本初等函数的导数公式
说明1、教材中对于复合函数求导法则的解释比较抽象，讲授时需要借助实例结合定义讲解，讲解重点放在复合函数的“拆解”上。
2、在理解复合函数定义的基础上，基本初等函数的复合较容易理解，此处不做重点讲解。
3、复合函数的结构分析为本节课的重点及难点，此处加强练习。
学生理解中的难点通常在于对“基本初等函数类型”分不清，讲解中着重强调每个函数的类型。
授课人：审阅签名：
【教学回顾】（3分钟） （利用多媒体演示）
五大类型基本初等函数及导数公式。
（其中a 代表任意常数）
1．幂函数： 1(-='a a ax x ）
2．指数函数：a a a x x ln ='）
（ 【特别的x x e e =')(】 3．对数函数: a x x a ln 1log ='）
（ 【特别的x
x 1
ln ='）
（】 4．三角函数：x x cos sin ='）
（ x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='
5.反三角函数：2
11)(arcsin x
x -=' 2
11)(arccos x
x --
='
211)(arctan x x +=
' 2
11
)cot (x
x arc +-=' 【新课导入】 （2分钟）
在学习完导数公式及导数的四则运算法则之后，形如：)3(sin 2'+x x ，)arctan ln 2('x x 之类函数我们都可以计算出其导数，但是函数类型也只局限于有两个或几个基本初等函数经过加、减、乘、除之后形成的函数。
可计算的函数范围还是很小。
引例：2sin x y =。
（板书） 提问：这个函数中包含了哪几种基本初等函数？ 答：正弦函数（三角函数）与幂函数。
说明：两种函数并不是以加减或者乘除的形式组合在一起的，这种“组合形式”我们称之为复合函数，本节课我们就来学习复合函数的求导方法。
（板书课题）
【新课讲授】
1.复合函数 （8分钟）
在讨论复合函数求导法则之前，我们先来看一下两个函数是如何复合到一起的。
例1：已知 u y ln =，x u cos =，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将x u cos =代入u y ln =容易得到x y cos ln =。
说明：注意上题涉及到的3个函数中自变量与因变量都不相同，例如u y ln =与
x y cos ln =因变量都是y ，但是由于自变量的不同所以表示不同的函数，为了不至于混淆在表示函数时通常加上下脚标来标注自变量，即u y u ln =,x u x cos =,x
y x cos ln =.
例2：已知2
,tan ,x v v u e y x v u
u ===，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将2x v x =代入v u v tan =得2tan x u x =，
再将2tan x u x =代入u u e y =得到2
tan x
x e y =即可。
（多媒体演示师生共同解题）
2.求导法则 （3分钟）
由此可见由16种基本初等函数像是组成机器的零件，经过复合的形式“组合”到一起，可以演变出很多种函数。
想要对这些函数求导我们先来看一下复合函数的求导法则：
x u x u y y '⋅'=' （板书）
分析：由于式子中涉及到x u u y '',两个符号，所以当我们遇到形如2
sin x y =的复合函数时，首先
应考虑将复合函数“拆解”为基本初等函数，然后分别求导，最后将求导的结果相乘即可。
即：
拆解 求导 组合（相乘） （板书）
接下来我们回顾一下我们课堂一开始提出的问题，首先我们来进行第一步：拆解。
I 拆解： （15分钟）
例3 分析下列函数结构，并求x y '。
（板书）
1）2
sin x y = 2）x e y ln =
说明：请同学们观察16条导数公式中（即基本初等函数中）每条公式包含一种运算，引导学生得到结论，复合函数都是包含有两种或两种以上的运算，若想将复合函数拆解成基本初等函数，要保证拆分后的每个函数只保留一种运算。
解：1）2x u x =，u y u sin = 2）x u x ln =，u u e y = 练习题：【课堂练习】（1）（2） 随机点提问两名学生回答问题，并进行点评
II 求导：（继续完善例3中两题的步骤）（4分钟）
1）x u x 2='，u y u cos =' 2）x
u x 1
=
'，u u e y =' 请学生对照导数公式独立完成练习（1)、（2）中的求导计算。
III “组合”（相乘） （6分钟）
1）2
cos 22cos x x x u u y y x u x =⋅='⋅'='
2）x
e x e u y y x u
x u x ln 1=⋅
='⋅'=' 说明：注意在完成第三步“组合”时，最后给出的函数形式为x y ，即必须以x 为自变
量，表达式中不可再出现中间量“u ”，需将u 代换回来。
随机点提问两名学生补充完课堂练习的求导部分。
【课堂练习】（1）)arctan(x e y = （2）4)(tan x y = 【小结】（3分钟）
1. 复合函数求导的步骤：拆解、求导、组合。
x u x u y y '⋅'='
2. 拆解函数过程中需注意拆分出的函数只能保留一种运算。
3. 组合时注意式子中不能再出现中间量u 。
课后思考：形如3)sin (ln x y =由3种基本初等函数复合而成的函数该如何进行求导？
【作业布置】（1分钟）
课本P55.1.（6）（7）（8）
【板书设计】
例 分析下列函数结构，并求x y '。
1）2sin x y
= 2）x e y ln =
解：
课堂练习：
)arctan(x e y = 4)(tan x y =
2.3复合函数的导数
x u x u y y '⋅'='
1）拆解
2）求导 3）组合。