T s Gs () Gs () Y ( z ) 1 e p T s P G ( z ) Z [ Gs () ] Z [ ] Z [ e ] p X ( z ) s s s Gs () p 1 ( 1 z) Z [ ] s
k
k
k 0
例 已知差分方程为y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k) (x(k)≠0
1 k 0 为非齐次方程)，假定初始条件为零，且 x(k) 0 k 0
求解 y(k)的值(当k 0时)。
解：对已给差分方程两端求Z变换
z Y ( z )5( z Y z )6 Y ( z ) X ( z )
第十一章 线性离散控制系统数学 描述与分析
仪器科学与电气工程学院 刘长英
连续控制系统与离散控制系统在结构上是不 同的，连续系统各个环节都是连续的，离散系统 既有离散环节又有连续环节(被控对象)，在进行 离散系统分析时将其连续环节离散化处理后，整 个系统按离散时间系统处理。 连续控制系统通常借助用到微分方程、传递 函数和状态方程等表达形式来描述。与连续系统 对应的离散控制系统分析通常借助于差分方程、 脉冲传递函数和离散状态方程等数学工具。
1 2 n 1 m Y ( z ) b z Y ( z ) b z Y ( z ) . . b z Y ( z )( a U z ) a z U ( za ) . . . z U ( z ) 1 2 n 0 1 m
1 m a a z . . . az Y ( z ) 1 m i 0 G ( z ) 0 n 1 2 n U ( z ) 1 b z b z . . . b z i 1 2 n 1 b z i i 1
r 5 r 6 0
2
求解此代数方程，解得特征方程的根为
r 2 ,r 3 1 2
y ( k ) a r a r a ( 2 ) a ( 3 ) 1 2
k k 1 1 2 2 k k
由初始条件可得
0 0 1 1
a ( 2 ) a ( 3 )0 ,( a 2 ) a ( 3 )1 1 2 1 2 a 1 ,a 1 1 2
差分方程求解方法
Z 变换法
递推法
解析法 若初始条件不为零且存在外部输入则完全解由两部 分组成即齐次解和非齐次解。
Z 变换法求解差分方程
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0(齐次方程)， 初始条件为y(0)=0， y(1)=1，试求该方程解(齐次解)。
k 0 解： 由Z变换实数左移定理，对已知差分方程两边求Z变换 k Z [ ft ( m T ) ] z[ F () z fk ( T ) z ] m m 1
线性差分方程
y ( k Tb ) y [ ( k 1 )] T b y [ ( k n )] T 1 n a x ( k Ta ) x [ ( k 1 )] T a x [ ( k n )] T 0 1 n
k — 离散时间变量 n — 差分方程的阶数
b1、b2、…、bn、a0、a1、…、an — 差分方程的系数, 描述系统的动态特性
递推法求解差分方程
为递推方便将方程写成如下形式：
y () k a u () k a u ( k 1 ). . .a u ( km ) b y ( k 1 )b y ( k 2 ) . . .b y ( kn ) 0 1 m 1 2 n a u ( ki ) b ( ki ) i iy
r b r b r . . . b 0 n
n
n 1 1
n 2 2
该特征方程有n个特征根，分成两种情况： 1. n个单根 r1 , r2 ,..., rn,则方程的解为特征根的线性组合：
y ( ka ) r a r . . . a r
k 1 1 k 2 2
k n n
环节间无采样开关的开环脉冲传递函数
Y ( z ) 1 1 z z G ( z ) Z [( G s )( G s ) ] Z [ ] 1 2 T X ( z ) s s 1z 1 z e
5. 插入零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数
1 eTs G0 (s) s
k y(k) hnuk ( ) ( n ) 系统的响应可表示为系统单位脉 冲响应与系统输入序列的卷积和。 n 0
例 已知离散系统单位脉冲响应h(k)，输入为单位阶跃序 列u(k)，求离散系统的输出y(k)。 解： 先将线性卷积公式变形，令k-j=n则有： 0 k y ( k ) h ( k ju )() j h ( k ju )() j j k j 0 由该式可以递推下列各式：
2
1 1 1 Y () z2 z 5 z 6( z 2 ) ( z 3 )
对上边部分分式分别求Z反变换，得时域解：
y () k 2 3
k 1
k 1
k 0
解析法求解差分方程
设齐次线性差分方程 写成n阶特征方程的形式
y ( k n ) b y ( k n 1 ) b y ( k 1 )( b y k ) 0 1 n 1 n
3. 星号的运算 若采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换乘积 之后再采样，则采样信号的拉氏变换可以由星号运 算中提出来
* [ X * ( s ) G ( s ) ] ** X ( s ) [ G ( s ) ] X * ( s ) G * ( s )

4. 串联环节的脉冲传递函数 环节串联且环节之间具有采样开关的开环系统的脉冲 传递函数
2. n个根中，既有单根又有重根(设r为三重根)则解的形 式为： k k 2 k k k
y ( k ) a r a k r a k r a r . . . a r 1 1 2 1 31 4 2 n n 2
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0,初始条件 为：y(0)=0,y(1)=1,试求齐次解。 解：差分方程的特征方程为
y ( 0 ) hu ( 0 )( 0 ) h ( 0 ) y ( 1 ) uh ( 0 ) ( 1 ) uh ( 1 ) ( 0 ) h ( 1 ) h ( 0 ) y ( 2 ) uh ( 0 ) ( 2 ) uh ( 1 ) ( 1 ) uh ( 2 ) ( 0 ) h ( 2 ) h ( 1 ) h ( 0 ) k k yk () h ( k juj ) ( ) h ( n ) j 0 n 0
yk ( ) by ( 0 ) b
k i 0
k 1
k i1
a u () i
齐次解,初条 件引起的响应
特解,输入 引起的响应
脉冲响应与线性卷积
单位冲激响应是线性离散系统时域描述的重要形式。 该响应对应的系统的输入为单位脉冲序列： 1 k 0 (k ) 0 k 0
i 0 i 1 m n
例 y(k+1)=by(k)+au(k)，假定y(0)已知，试用递推法 求解差分方程。
解：
y ( 1 ) b y ( 0 ) a u ( 0 )
2
y ( 2 ) b y ( 1 ) a ub ( 1 ) y ( 0 ) a b u ( 0 ) a u ( 1 )
2 1 z [ Y ( z )( yy 0 )( 1 ) z ] 5 z [ Y ( z )( y 0 ) ] 6 Y ( z ) 0
z Y(z) 2 z 5z 6
求Z反变换得时域解
解出Y(z)可得
对左式进行部分分式展开

z z Y(z) z 2 z 3
y () k (2 ) (3 )
开环系统求Z传递函数
1. 脉冲采样信号的拉氏变换(带星号信号的拉氏变换)
X * ( s )
1 s l n z T
k xk ( Tz ) k 0

时域采样的拉氏变换就是Z变换
2. 采样信号的拉普拉斯变换具有周期性
L [ x * ( t ) ] X * ( sX ) , 则 * ( s j k ) X * ( s ) s
y () k (2 ) (3 )
k k
例 求下面差分方程的完全解 y(k)+3y(k-1)=x (k)-x (k-1)， 其中输入函数x(k)= k2,且已知 y(-1)=-1。 ① 齐次解为
r 3 0 r 3 y ( ka ) 1 ( 3 ) 齐
k
② 求特解
i a z i
m
1 b z 0 1 b z b z . . . b z 0 i
i i 1 1 1 2 2 n n
n
例 已知差分方程
1 yk () yk ( 1 ) u ( k 1 ) 2
求Z传递函数。 对上边方程取Z变换，利用实数位移定理，并考虑 初始条件有如下结果：
1 Yz () zYz () zU ( z ) 2 Y(z) z G(z) U(z) 11 z 2
1 1
1
1
例 已知连续系统的传递函数
1 G( s) s( s 2)
求对应的离散系统的Z传递函数。 解： 1 1 /2 1 /2 G ( s ) ss ( 2 ) s s 2 1 1 1 1 2T z z z(z e ) z(z 1) 2 G(z) 2 2 2T 2 z 1 z e (z 1)(z e2T ) 1 z(1 e2T ) 2 (z 1)(z e2T )