这三个问题的解决，是求解这类问题的通法。
• 在处理与球有关的问题时，注意这几个核 心点：
• 1、两个公式；两个重要数据； • 2、球的特殊对称性； • 3、球的最大截面圆的圆心即为球心； • 4、截面圆的圆心与球心的连线⊥截面圆所
在的平面；
• 5、球面上任意两点的连线段的中垂面必过 球心；
• 6、球面距：过球心且过此两点的截面圆的 劣弧长。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
【巩固练习】
1、设正方体棱长为a， （1）求内切球的体积； （2）求与正方体的各棱相切的球的表面积。
2、长方体的三个面的面积分别为√2，√3，√6，求它的外接球的半径。 3、有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与 正方体各棱相切，第三个球的球面经过正方体各个顶点，求这三个球的面 积之比。 4、半球内有一内接正方体，求这个半球的体积和正方体体积之比。 5、求底面半径为10，母线长为26的圆锥的同内切球的体积。
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距 离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。简 单多面体外接球的球心有如下结论： 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线 的中点。 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算 找到。 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边 的中点就是其外接球的球心。
观察三维模型注意截面、球的直径、棱之 间的关系（相交的截面），转化为平面来建立 关系来解题。
【球与正方体关系模型】
一、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为
切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线 即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体 叫做“球的外切正方体”。
球的直径等于正方体棱长。
1、 ； 2、√6/2 ； 3、1：2：3 ； 4、√6 π /2 ； 5、 20/3
二、球与正方体的棱相切 球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。
正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球 正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中
心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫 做“球的内接正方体”。
正方体找出球的半径与几何体 的基本量的联系，即半径等于什么？从这个意义 上来说，是不必画出球，只要能找出球心的位置， 及切点（或接点）的位置，连线即为半径！因而， 我们在处理这类问题时，只画几何体，并给自己 三个提问： 1、球在几何体的什么位置上？ 2、切点（或接点）在几何内的什么位置上？ 3、半径怎么求？
【正四面体与球关系】
正四面体与内切球关系模型
正四面体与内切球关系模型（框架）
正四面体与外接球关系模型 正四面体与外接球关系模型（框架）
几何体的外接球与内切球解题
一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，
此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中 球心的确定是关键！ （一） 由球的定义确定球心
（二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的
中点处。以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长 方体的途径与方法： 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四 个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相 对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补 成长方体或正方体。 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥 补成长方体或正方体。
【小专题】01
几何体的内切与外接球
曲江一中高三数学组
几何体中的外接球与内切球
• 高考题与高三训练题，流行出球的相关问 题。在高考中，对空间几何体的考查常常 与球结合，以几何体的外接球和内切球为 载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、 球的体积与表面积的计算，考查考生的空 间想象能力。有时采用割补法或转化为平 面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、 基本不等式等知识相结合进行考查。为了 比较彻底全面掌握几何体与球的相关问题， 特补充此专题内容。
先观摩一下正方体各棱与球相切的3D动画
然后再来看看带直径的图形
随后是解法的图形。可以一目了然 球的直径与正方体边长的关系。
下图是改进版的，看得更清 楚，哪条线是直径？
最后，给大家全方位旋 转看看或透视图下形象 观察，以加强验证。
【典例演练】
【几何体与球关系】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一 种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中 也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空 间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认 真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的 位置，画好截面图是关键，确定基础三角形可 使这类问题迎刃而解。
• 外接球：在考查几何体的外接球时，常常以正方 体、长方体、三棱锥为基本模型。
• 内切球：空间几何体的内切球问题，常常转化为 球心到平面的距离为球的半径解答。
• 有很多题涉及到了几何体的内切及外接球问题， 同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时， 常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策，对这 类问题的处理能力非常薄弱，不得要领。很多同 学按照思维定式试图画出图形来观察，结果陷入 误区：要画出比较直观的立体图形是难上加难。 事实上，如果抓住要领，不画球就能解决所有问 题------无需画出球体，只需找出球心和半径即可； 或者画出球的大圆，转化为平面几何问题。
（三） 由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及
球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是 这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等。