∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
&& & mu + cu + ku = p(t )
• Hamilton原理：在任意时间区段 [t1, t2] 内，体系的动能和 位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。
∫
t1
t2
δ (T − V )dt + ∫ δ Wnc dt =0
t2
t1
δ Wnc = ∑ Pncjδ u j
j
T ——体系的总动能； V ——体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc——作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功；
• 惯性：保持物体运动状态的能力。 • 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反。
u m c f D(t) f I (t)
&& f I = -mu
I —表示惯性（Inertial）； m—质量（mass）； ü—质点的加速度。
k
f S(t) m
2.1.3 弹簧的恢复力（ Resisting Force of Spring）
小结：
• 确定结构的动力自由度，关键是根据结构的质量分布、变 形（运动）情况将连续分布的质量集中到若干点，并对结 构变形作出合理假设，勾画结构变形图。 • 结构自由度数目并不是固定不变的，而是依赖计算假设， 应在合理的假设下得到较少的自由度数目。 • 结构自由度数目与集中质量数目无关。
2.1.2 惯性力（ Inertial Force ）
• 静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，本 质上的动力问题就变成了形式上的静力问题，静力问题中 用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平 衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多问 题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简 便的方法。 • D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡概念。
p( t )
无质量刚杆 无质量刚杆
c
m ,J
k
k
L
L
L
L
4. Hamilton原理
（积分形式的动力问题的变分方法） • 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 • 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的 能量取得极值，一般是极小值。 • Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。 • 应用Hamilton原理可以推导出体系的运动方程。
根据结构的质量分布情况将质量集中到若干点上
勾画结构变形图，分析质量所在处结构的变形
用若干个独立的几何参数（坐标）描述质量所在处 结构的变形，独立的几何坐标即为动力自由度数
悬臂柱式结构体系（烟囱、水塔等简化而来）
例2.1 长为l 的悬臂柱上端有一集中质量m
在空间 在平面 作为质点 不计轴向变形 6自由度：x,y,z,θx,θy,θz 3自由度：x,z,θy 2自由度：x,z 1自由度：x
可见结构自由度数目与计算假定有关！ 计算假定越少，自由度数目越多，结果越精确，但计算越复杂； 计算假定越多，自由度数目越少，结果越粗糙，但计算越简单。 应在合理的假设下得到较少的自由度数目。
梁式结构体系
例2.2 简支梁上有一台电动机 例2.3 简支梁上有两个集中质量
1自由度: y(t)
2自由度: y1(t)， y2(t)
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
u( t ) k c f S(t) f D(t) 单质点体系的受力分析 p( t ) m p( t )
F = ma
F = p (t ) − f D − f S ma + f D + f S = p(t ) & f D = cu f S = ku
将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：
∫
t2
t1
& & & [muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu ]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
∫
t2
t1
& & & [muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu ]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
ρ →∞ ρ →0
Ib和Ic — 梁和柱的截面惯性矩
2.1.4 阻尼力（ Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。 阻尼来源（物理机制）：
– 固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； – 结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； – 结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
单层框架结构的水平刚度
EIb h EIc L (a) EIc p( t ) Eib= ∞ Eib= 0
(b)
(c)
24 EI c 3ρ + 1 k= ⋅ ; 3 h 3ρ + 4
h — 框架结构的高度 E — 弹性模量
hI b ρ= LI c
24 EI c ; k= 3 h 6 EI c k= 3 ; h
– 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； – 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； – 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
2.1.5 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) • 线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。当结 构处于小变形状态，并忽略介质的阻尼时。 ——最简单的理想化力学模型。 • 粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时 。 ——结构动力分析中的最基本力学模型。
刚（框）架类结构体系
例2.6 单跨两层刚架，4个集中质量 例2.7 单跨两层刚架，2个集中质量
若计及轴向变形，自由度为4×2=8个； 不计轴向变形，自由度为2个:x1(t),x2(t)
若计及轴向变形，自由度为2×2=4个； 不计轴向变形，自由度为4个:x1(t),y1(t), x2(t),y2(t)
因此能量的变分： δ (T
t1
t2
δ (T − V )dt + ∫ δ Wnc dt =0
t2
t1
用Hamilton原理建立体系的运动方程
1 2 位能(弹簧应变能)： V = ku 2
& & − V ) = muδu − kuδu
非保守力所做的功的变分（等于非保守力在位移变分上作的功）
& δWnc = p(t )δu − cuδu
• 对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力。 • 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积， • 方向指向体系的平衡位置。
k c u m f D(t) f I (t) f S(t) m
f S = -ku
s— 表示弹簧 u— 质点位移
（Spring）
k— 弹簧的刚度（Spring stiffness）
&& a=u
&& & mu + cu + ku = p (t )
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
利用牛顿第二定律的优点
牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程
2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
• D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际 作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上 （假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状 态（动力平衡）。
2.1.6 非弹性体系 (Inelastic System)
• 结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 • 构件（或弹簧）的恢复力可表 示为
& f S = f S (u , u )
fS 是位移和速度的非线性函数。