高一学年上学期期末教学检测数学试题满分：150分 考试时间:120分钟第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.非空集合{}{}135,116X x a x a Y x x =+≤≤-=≤≤，使得()X X Y ⊆⋂成立的所有a 的集合是（ ）A. {}37a a ≤≤ B. {}07a a ≤≤ C.{}37a a <≤ D.{}7a a ≤ 2. 函数|12|log )(2-=xx f 的图象大致是（ ）3.将函数g()3sin 26x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点向左平移6π个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12倍，得到函数()f x ，则( ) A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 4.已知偶函数()2f x π+,当)2,2(ππ-∈x 时，13()sin f x x x =+,设(1),a f =(2), (3)c f =，则( ) A. abc << B. b c a << C. c b a << D. c a b << 5．下列函数中最小正周期为2π的是( )A. sin 4y x =B. sin cos()6y x x π=+C. sin(cos )y x =D. 42sin cos y x x =+6.已知P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上的动点，则(AP AB AC +( )A.最大值为8B.是定值6C.最小值为6D.37.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a = ，BD b =，则AF = ( )A .B .C .D .已a =a b ⋅=||a b += b =A.1142a b +B.1233a b +C.1124a b +D.2133a b +8.下列说法中：⑴若向量//a b ，则存在实数λ，使得a b λ=；⑵非零向量,,,a b c d ，若满足()()d a c b a b c =-，则a d ⊥⑶与向量(1,2)a = ，(2,1)b =夹角相等的单位向量c =⑷已知ABC ∆,若对任意t R ∈,,BA tBC AC -≥则ABC ∆一定为锐角三角形。

其中正确说法的序号是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ． (2)(4)D ． (2)9.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,x y R ∈都满足()()()f x y x f y y f x ⋅=⋅+⋅，则()f x 是A ．奇函数B ．偶函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数10.已知(),0,αβπ∈且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-=( ) A ．4πB ．54π C ．34π- D ．74π-11.函数1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，()b f a ⋅的取值范围是( )A ．1(0,]4B ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,2D ． 33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.在平面上，12AB AB ⊥ ,121OB OB == ,12AP AB AB =+ ,若12OP < ,则OA的取值范围是( ) A ．B．C．D．第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为 . 14. 函数()sin cos()6f xx x π=+-,若0a <<,则方程()f x a =在[0,4]π内的所有实数根之和为 .15. 已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=,不等式|3042||)(|2-+≤x x x f 对任意实数x 恒成立，则()f x 的最小值是 .16. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且x Î(-1,0)时，f (x )=2x +65则2(log 20)f = .三、解答题 （第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.(10分) 集合(){}(){}2,1,,3,03A x y y xmx B x y y x x ==-+-==-≤≤.（1）当4m =时，求A B ⋂；（2）若A B ⋂是只有一个元素的集合，求实数m 的取值范围．18.(12分),a b 是两个不共线的非零向量，且||||1120a b a b ==且与夹角为.（1）记()1,,,3OA a OB tb OC a b ===+当实数t 为何值时，ACB ∠为钝角？ （2）令[]()|sin |,0,2f x a b x x π=-∈，求()f x 的值域及单调递减区间.19.(12分) 已知函数()25()3sin 2sin 122f x x x x x R πππ⎛⎫⎛⎫=--++-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值.20.已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=⋅n m. （1）求角A ； （2）若3sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan .21.(12分)已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()()12123,23x t x t f x f x --==⋅（12,,x R t t ∈为常数），函数()f x 定义为：对每一个给定的实数x ，()()()()()()112212(),f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1） 求证：当12,t t 满足条件122log 3t t -≤时，对于x R ∈,1()=()f x f x ；（2） 设,a b 是两个实数，满足a b <，且()12,,t t a b ∈，若()()f a f b =，求函数()f x 在区间[],a b 上的单调递增区间的长度之和.（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）高一学年上学期期末教学检测（数学）答案一、选择题二、填空题13．100 14. 283π15. 16- 16. 2-三、解答题17.（I ）(){}1,2（4分）（Ⅱ）m ＝3或m ≥103（6分）2111118.,(),03333121111//,,,;21222CA a b a t b CA CB CA CB t t =-=-+-⋅<⎛⎫⎛⎫=∴-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：(1)由得t>-又时，的取值范围是[][]min max (2)(),0,2,sin 1,1,1sin sin 1();27311(),,.2626f x x x x x f x f x πππππ==∈∴∈-=-===∈⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当时，f(x)当时,f(x)的单调递增是，19.解：2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+(1)最小正周期为π;最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 265x π⎛⎫+==-⎪⎝⎭0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦20.（1）∵1=⋅n m∴1)sin ,(cos )3,1(=⋅-A A ，即1cos sin 3=-A A …3分1)6sin(2=-πA , 21)6sin(=-∴πA ∵π<<A 0,6566πππ<-<-∴A ，∴66ππ=-A ， 即3π=A . 6分（2）由题知：3sin cos 2sin 122-=-+BB B，即：0cos 2cos sin sin 22=--B B B B , ∵0cos ≠B ，∴02tan tan 2=--B B ，∴2tan =B 或1tan -=B ； 10分而1tan -=B 使0sin cos 22=-B B ，故1tan -=B 应舍去，∴2tan =B ， ∴)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=π=tan tan 1tan tan A B A B +-==-分 21.（1）解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ）⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- … ……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa ……（）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x解得01=x ，32-=x …………………3分 经检验3-=x 是（）的增根，所以方程（）的解为0=x ，所以函数)(x F 的零点为0， …………………4分（2）∵函数11,1y x y x=+=-在定义域D 上是增函数 ∴①当1a >时， )()(2)(x g x f x F +=在定义域D 上是增函数②当01a <<时，函数)()(2)(x g x f x F +=在定义域D 上是减函数 6分问题等价于关于x 的方程2235()m m F x --=在区间)1,0[内仅有一解， ∴①当1a >时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是增函数∴[)()0,F x ∈+∞∴只需22350m m --≥ 解得：1,m ≤-或52m ≥∴②当01a <<时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是减函数∴(](),0F x ∈-∞ ∴只需22350m m --≤ 解得：512m -≤≤ 10分 综上所述，当01a <<时：512m -≤≤；当1a >时，1,m ≤-或52m ≥（12分）22. 解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12323x t x t--≤ ，即123log 2332x t x t ---≤=对所有实数x 均成立. （）由于121212()()()x t x t x t x t t t x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（）等价于1232t t -≤，即123log 2t t -≤，所以当123log 2t t -≤时，1()()f x f x =（2）分两种情形讨论（i ）当1232t t log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a fb =及1a t b <<易知12a bt +=， 再由111113,()3,t x x t x t f x x t --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b a b +--=（参见示意图1） （ii ）1232t t log ->时，不妨设12,t t <，则213log 2t t ->，于是 当1x t ≤时，有1212()33()t xt x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =； 当2x t ≥时，有312122122log 212()333333()x t t t x t t t x t x t f x f x --+----===>=从而 2()()f x f x = ； 当12t x t <<时，11()3x t f x -=，及22()23t xf x -=⋅，由方程12323x t t x --=⋅解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12031log 222t t x +=+ ⑴显然10221321[()log 2]2t x t t t t <=---<，这表明0x 在1t 与2t 之间。