复习课(一) 导数及其应用(部分)导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现． (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要](1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．[典例] (全国卷Ⅱ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0 [类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．[题组训练]1．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.2．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′| x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.法一：∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎨⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 2＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。

(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．[考点精要]函数的单调性与导函数值的关系若函数f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )在(a ，b )任意子区间内部不恒等于0.f ′(x )＞0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )＜0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递减．反之，函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇒f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件．[典例] 已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性并求出单调区间． [解] f ′(x )＝1－a x2.(1)由导数的几何意义得f ′(2)＝3，即1－a4＝3，∴a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上，得f (2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b ＝7，解得b ＝9， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9(x ≠0)．(2)当a ≤0时，显然f ′(x )＞0(x ≠0)， 这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 当x ＜－a 或x ＞a 时，f ′(x )＞0； 当－a ＜x ＜0或0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上是增函数， 在(0，a )，(－a ，0)上是减函数． [类题通法]求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[提醒] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．[题组训练]1．设函数f ′(x )＝x 2＋3x －4，则y ＝f (x ＋1)的单调递减区间为________．解析：由f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )＜0，即x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(－4,1)，所以y ＝f (x ＋1)的单调递减区间为(－5,0)．答案：(－5,0)2．已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x .(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x ，则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ，f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫32－e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12. (2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ，∴f ′(x )＝－x ＋2－a e x ，于是有不等式－x ＋2－a e x ≥0在R 上恒成立， 即a ≤2－xe x 在R 上恒成立，令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：故函数即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e 3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 3.导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．[考点精要]1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f ′(x )>0在(a ，b )上成立，是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． (2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 2．利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f ′(x 0)＝0时，x 0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论． [典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ， 故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧f ′2＝0，f 2＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.[类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．[题组训练]1．已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，试求函数的极值．解：f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 2．已知函数f (x )＝1＋ln xx(x ≥1)，(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln x x2，∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0. 故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵x ≥1， ∴f (x )≥k x ＋1⇔x ＋11＋ln xx≥k ，令g (x )＝x ＋11＋ln xx ，∴g ′(x )＝[x ＋11＋ln x ]′x －x ＋11＋ln xx 2＝x －ln xx 2. 再令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x. ∵x ≥1，则h ′(x )≥0， ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增． ∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0， 故g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2. 故实数k 的取值范围为(－∞，2]．生活中的优化问题也可以解答题形式考查，难度中低档．[考点精要](1)解决优化问题的策略①要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．②要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(3)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0， 故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )＜0， 故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y ＝f (x )，根据实际问题确定y ＝f (x )的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．[题组训练]1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y ′＝－4 500x2＋20＝20x ＋15x －15x 2，∴当0＜x ＜15时，y ′＜0，当15＜x ＜150时，y ′＞0. 故当x ＝15时，y 取得最小值， 此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少． 答案：10 15 0002．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x (x ＞0)千米/时的燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3，由6＝k ×103，可得k ＝3500.∴Q ＝3500x 3. ∴总费用y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x .∵y ′＝6x 500－96x2.令y ′＝0，得x ＝20.∴当x ∈(0,20)时，y ′＜0，此时函数单调递减， 当x ∈(20，＋∞)时，y ′＞0，此时函数单调递增． ∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．1．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4 B ．0C.3π4D ．1解析：选A 由f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.2．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c ＜14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14解析：选A 由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c ＞0，解得c ＜14. 3．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e解析：选C 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.4．函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m <0)的单调递减区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，－m )C．(－m，＋∞)D ．(0，－m )∪(－m ，＋∞)解析：选B 由条件知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为m <0，则f ′(x )＝2x ＋－mx －－m x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，－m )－m (－m ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f(x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－m )，单调递增区间是(－m 5．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]解析：选C f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．6．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：选D 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.7．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：38．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是________． 解析：y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ＜0在区间(0,2)内恒成立， 即a ＞32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.答案：[3，＋∞)9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知f ′(2)＝0，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9. [f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.答案：－1310．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20. 当x ∈(0,20)时，V ′>0； 当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.11．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)为增函数，求a 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎨⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上恒成立．则f ′(x )＝x －ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a ≤1， 故a 的取值范围为(－∞，1]． 12．设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .解：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． (2)证明：由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值， 最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x－1，即1＜x －1ln x＜x . (3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜c －1ln c＜c ，故0＜x 0＜1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0. 所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。