Um Im sin2 ω t (2) 平均2功率 Ｐ
UI
sin 2 ω t
P 1
T
p dt
T0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
T0
C是非耗 能元件
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
ii
u+
u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
i 5 2sin(314t 30)A的电流
求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
3.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
基本关系式： i C du
设：u
dt
2 U sin ω t
i
+
u
C
_
则：i C du 2 UC ω cos ω t 电流与电压
时值表达式不变，电路中的电流的
有效值及无功功率又如何？
解：（1） XL L 3140.1 31.4()
QL UI 2207 1540(var)
I UL 220 7(A) X L 31.4
（2）
i C du dt
U jXC I
相量图
I U
U
I I
U
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
Ru
u iR R
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
U
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q
UI
I 2XC

U2 XC
单位：var
【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中：在电感电路中：
在电容电路中：
IU R
iU R
i u R
I U R
u i
XL
U jωL I
I U ωL
U I

jX L
• 为了方便起见，在讨论正弦交流电路时，可以在几个 同频率正弦量中，令其中某一个正弦量的初相位为零 ，这个正弦量称为参考正弦量，它的相量称为参考相 量。选定参考正弦量后，并不改变各正弦量的相互联 系，因此不会影响电路分析的结果。
2.3.1 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系
i
根据欧姆定律: u iR
设 u Umsinω t
+
u
R
_
i u Umsinω t 2U sinω t
R
R
R
Imsin ω t
① 频率相同
2 I sin ω t
I
相量图
U
②大小关系： I U
相量式：
R
③相位关系 ：u、i 相位相同
I I 0
相位差 ： u i 0 U U 0 IR
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t
ui
iu
u 2 U sin ω t
小写
O
ωt
p ui
Um Im sin2 ω t
pp

1 2
Um Im (1
cos 2ω
t)
O
ωt
结论: p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P
1 ωC

1 2π f
C
ωC
容抗（Ω ）
则: U I XC
XC

1 2π f
C
直流：XC 交流：f
，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
XC

1 2π fC
容抗XC是频率的函数
由：u 2Usinω t
I , XC
XC

1 ωC
I U (2 π f C)
O
f
i 2Uω C sin( ω t 90)
40()
（1）电流相量为：

U
22030
I

5.5120(A)
jX C 40(90)
i 5.5 2 sin(314t 120) A
（2） QC UI 2205.5 1210(var) 1.21(k var) （3）相量图如图所示。
i
i C du dt
设
i 2Isinωt
jXC 则
U IX C
I
U
U jIXC
u
s
in2(Iωt C90)XC

1 / c
u落后
i
90°
0
UI - I2XC
例某电阻元件的参数为8欧，接在u 220 2 sin(314t 60) V 的交
流电源上。试求：（1）通过电阻元件上的电流相量及电
R
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
2.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系
基本关系式：u
设：i 2 I sin

ω
eL
t

L
di dt
i
+
-
u L eL
u L d( Imsinω t) dt
-
+
2 Iω Lsin(ω t 90)
2 U sin( ω t 90)
可得相量式 U U 0 I I 90 jUω C I
I 超前 U 90
则：
U

jI
1 ωC

jI
XC
电容电路中复数形式的欧姆定律
U 相量图
2.功率关系
i
由 u 2Usinω t
+
i
2Uω C sin( ω t 90)
u _
C
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
dt
的变化率成
2 U ωC sin(ω t 90) 正比。
① 频率相同
② I =UC
③电流超前电压90
相位差 ψu ψi 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值 I U ωC 或 U 1 I
定义：X C
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
Um Im
sinω t
cos ω t

Um Im 2
sin2 ω t
UI sin2 ω t
(2) 平均功率
1 T
P
p dt
To
1T
T o UI sin (2ω t )dt 0
L是非耗 能元件
i
瞬时功率在一个周期内的平均值 +
u
P 1
T p dt 1
T
u i dt
T0
T0
大写 1 T 1
p
_ p
R
T
0 2 Um Im (1 cos 2ω t)dt
P
1
T
UI(1 cos2ω t)dt UI
T0
O
ωt
P U I I 2R U 2 单位:瓦（W）
① 频率相同
② U =I L
③ 电压超前电流90
相位差 ψu ψi 90
i 2I sinω t
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )
有效值: U I ω L
或 I U
L
定义： XL L 2 f L 感抗(Ω )
则: U I X L
U IR
UI I 2R
0
-
u 2Usinωt
u、 i 同相
i
设
U
i 2Isinωt
UI
L
+ u
u L di jX L 则
dt
u 2Iω L
U IX L
X L L
I U jIX L 0 I 2 X L
-
sin(t 90)
u领先 i 90°
C
+ u
-

I

U
22030 7(60) A
相量图如图所示。
jX L 31.490
i 7 2 sin(314t 60) A
（3）当电源频率增加1倍时，电路感
抗增大1倍，即 XL 2L 23140.1 62.8()
I
UL XL

220 3.5(A) 62.8
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
I , XL
XL ω L2 π f L
感抗XL是频率的函数
O
I U
2fL X L
f
根据： i 2I sinω t
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )
可得 I I 0
相量式：U U 90 Iω L 90
则：
U I
U I
90 jL
U jI ω L I (jX L )
电感电路复数形式的欧姆定律
U 超前 I90