质点系动量矩的计算
y’
1、计算圆盘对O轴的动量矩：
x
O
ωA
u A
x’
C1
m2vr
C2
m2 u B
Lo
rC1 mvC1
Lr C1
Lz1
Rm1u
1 2
m1R
2
A
2、计算AB杆对O轴的动量矩：
Lo
rC 2
mvC2
Lr C2
ω
vC2 u vr
第一项 (L cos R)m2u
Lo
rC 2
m2u rC2
vC2y' vr sin u L sin
AB杆的动量：pAB m2vC2
p m1ui'm2vC 2 x'i'm2vC 2 y' j' 问题：
如何求该系统质心速度？
4
质点系动量矩的计算
质点系对固定点O点的动量矩：
n
Lo (ri mivi )
z
mi
vi
i1
设动参考系Ax’y’z’平移，
m2vr
Lr C2
第二项 (L cos R)m2vr cos (x L sin )m2vr sin
(L cos R)m2L cos (x L sin )m2L sin
第三项
1 12
m2
(2
L)
2
Lz2 三项和
6
质点系动能的计算
n
质点系的动能 T
1 2
mi
vi2
i 1
vA
vr cos
mA mB
vr cos
2
T2
T1
W (e) 12
W (i) 12
1
2
mAvA2
1 2
mB
(vA vr cos )2 (vr sin )2
mB gS
sin
1 2
kS
2
Cvr2
mgS
sin
1 2
kS
2
2Car
mg sin kS
S [0, 2mg / k]
ar
mg 10 2C
y
B
猜想一下：系统将如何运动.
O
I
A
运动过程： x 第一阶段：冲击过程
第二阶段：非冲击过程
15
基本定理的综合应用
（1）:求小球B的运动方程，初始时，B点的坐标为（0，L/2）。
y
B
y’
θ
2mvc
O C
I
ω
A
xB
xC
L sin ,
2
x’
yB
L 2
cos
n
应用冲量定理：p2
p1
I (e) i
i 1
2mvC 0 I
vC
I 2m
பைடு நூலகம்应用冲量矩定理：
x
n
LC2
LC1
M
C
(
I
(e) i
)
i 1
2(m L) L 0 I L I
22
2
mL
xc vCt, t
（2）:求冲击结束后杆的内力。
F m 2 L
2
16
基本定理的综合应用
（3）求当杆AB与x轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半径.
y B
O
I
A
vC
I 2m
动点：B；动系cx’y’ y’
y
A
（1）用什么方法求图示
瞬时OA杆的角加速度？
u
O h B
（2）用什么方法求轴承
F
O的约束力？
x （3）用什么方法求地面
作用在滑块B上的约束力
2h
（大小和作用线）？
18
思考题
思考题：均质木箱放在斜面上，木箱是否会翻到。
b
b
a
a
A: 斜面有摩擦 f tan
B: 斜面光滑， 滑块无初速释放 19
x
O
ωA u A
B
ω
n
质点系的动量：p mivi i 1
质点系对固定点O点的动量矩：
n
Lo (ri mivi )
i1 n
质点系的动能： T
1 2
mi
vi2
i 1
2
有关动量的基本计算
质心矢径 质心速度
一般质点系
n
miri
rc
i 1
m
n
mivi
vC
rc
i 1
m
系统动量
n
p mivi mvC i 1
一般刚体系
n
mCi rCi rc i1 m
n
mCi vCi vc i1 m
n
p mCivCi mvC i 1
3
质点系的动量
x
O
y’
ωA u A
C1
vr
n
p mCivCi mvC i 1
p m1vC1 m2vC 2
x’
圆盘的动量： pA m1u
C2 B
ω
va ve vr u vr vC2x u vr cos u L cos
(2L)2
2
C2 B
ω
vC2 u vr
7
基本定理的综合应用
质点系动力学基本定理
dp
dt
n
Fi(e)
i1
FR(e)
mac FR(e)
m
dv dt
FR(e)
dm dt
vr
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) ) rAC (maA )
rAC (maA ) 表示质点系的牵连惯性力（作用在质心C）对A点之矩
y : mAaA mBaB 0 mEaE
F1 F2 mA g mB g mD g mE g
1 2
ma
E
F1
F2
6mg
F2
13 mg 3
aE
4g 27
F1
43 27
mg
14
基本定理的综合应用
例: 两个相同的小球用长为L （不计其质量）的细杆AB固连，静止放在光滑 的水平面上。若每个小球的质量为m，当小球A受到冲量I的作用后，（1）: 求小球B的运动方程，初始时，B点的坐标为（0，L/2）（2）求冲击结束后 杆的内力。（3）求当杆AB与x轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半径；
9
基本定理的综合应用
应用质心运动定理：
mAaA mB (aA ar ) F mA g mB g
x : mAaA mB (aA ar cos ) 0 y : mBar sin F mAg mB g
ar
mB g a A mA g
F
x : mAvA mB (vA vr cos ) 0
F1
F2
应用动能定理： dT W
D
B
y
mg
mg 2mg E
A
2mg
a
T
1 2
m
Av
2 A
1 2
mB
vB2
1 2
J
2
BB
1 2
J
2
DD
1 2
mE vE2
27 16
mvE2
vE 2vA 2vB RD 2RB
W mAgvAdt mB gvBdt mE gvEdt
1 2
mgvE
dt
dvE dt
基本定理的综合应用
F1
F2
D
B
mg
mg 2mg E
A
2mg
a
受力分析：有两个未知的约束力 做功的力为已知力。
已知：两个均质滑轮质 量均为m,半径为R，两 个物块的质量为2m，绳 索相对滑轮无滑动。求 物块E的加速度和图示 的约束力。
解：取整体为研究对象
运动分析：系统有一个自由度 11
基本定理的综合应用
动力学第二章习题课
• 基本物理量的计算 • 基本定理、定律与公式的应用
1
基本物理量的计算
问题：质量为 m1半径为 R 的均质圆盘在地面上滚动，质量为 m2 长为 2L 的均质杆AB用铰链与圆盘中心连接（如图所示），
若圆盘的角速度为ωA，轮心的速度为u，杆的角速度为ω，求
图示瞬时系统的动量、对O轴的动量矩和系统的动能。
微分形式 dT Fi(e) • dri Fi(i) • dri
积分形式 T2 T1
W (e) 12
W (i) 12
8
基本定理的综合应用
已知：两个物块的质量 均为m，弹簧刚度为k, 忽略所有摩擦。系统初 始静止，弹簧为原长。 求地面约束力的最大值 和最小值。
mAaA mBaB F mA g mB g mAaA mB (aA ar ) F mA g mB g
B
mg
vA mg
2mg E
A
2mg
vE
LO M O
27 4
maE
R
3F2
R
14mgR
aE
4g 27
F2
13 mg 3
13
F1
F2
O D
B
mg
aA mg
2mg E
A
2mg
aE
基本定理的综合应用
应用质心运动定理：
mAaA mBaB mDaD mEaE F1 F2 mA g mB g mD g mE g
O ri
y
质点系相对动系上A点的动量矩：
x
n
LrA (ri 'mivir )
i1
mi vri
质点系相对固定点O与相对运动点A动量矩的关系
Lo rA mvC rAC mvA LrA