定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
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2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
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命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.


定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等

解（1）令p：王冬梅学过日语. q：王冬梅学过俄语. 相容或 符号化为 pq （2）令r：张晓燕生于1977年. s：张晓燕生于1978年. 排斥或 符号化为 rs （3）令t：小元元拿一个苹果. u：小元元拿一个梨. 排斥或 符号化为 （t¬ u） （ ¬ tu）



以下命题a为给定的一个正整数. （5）只要a能被4整除，则a一定能被2整除. （6）a能被4整除，仅当a能被2整除. （7）除非a能被2整除，a才能被4整除. （8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （9）只有a能被2整除，a才能被4整除. （10）只有a能被4整除，a才能被2整除. 令r：a能被4整除. s：a能被2整除. （ 5） r s （ 6） r s （ 7） r s 1 1 1 （ 8 ） r s 1 （ 9） r s 1 （10）sr 不确定


复合命题：简单命题通过连接词的联接而成的 陈述句. 联接词：不是（非）、并且、或、如果，则、 当且仅当.


定义2.1 设p为命题，复合命题“非p”（或 “p的否定”）称为p的否定式，记作p，符号 称作否定联接词. 例 p：上海是个大城市。 其真值表为： p：上海不是一个 p p 大城市。 0 1 1 0



例2.5 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值. （1）如果3+3=6，则雪是白色的. （2）如果3+3=6，则雪是白色的. （3）如果3+3=6，则雪是不是白色的. （4）如果3+3=6，则雪是不是白色的. 在上面四个命题中令p：3+3=6，真值为1. q：雪是白色的，真值也为1 （ 1 ） p q （ 2 ） p q （3）pq （4）pq 1 1 0 1

命题符号化：将命题和它的真值用抽象的符号表示.

例如，通常用p,q,r等表示命题，用0表示假，用1表
示真.
在例2.1中，用p，q，r，s分别表示（1）（2） （4）（5）. p:多伦多是加拿大的首都. q： 2 是无理数. r：火星上有生命. s：2050年元旦北京是晴天. p真值为0，q真值为1，r，s现在不知道. p、q、r、s均为原子命题或简单命题.







例2.3 将下列命题符号化. （1）2既是偶数又是素数. （2）6不仅能被2整除，而且能被3 整除. （3）8能被2整除，但不能被6 整 除. （4）5是奇数，6是偶数. （5）2与3的最小公倍数是6. （6）王丽和王娟是亲姐妹.



（1）pq，其中，p：2是偶数， q：2是素数. （2）pq，其中，p：2|6，q,3|6. （3）pq，其中，p：2|8，q,6|8. （4）pq，其中，p：5是奇数，q：）p：王丽和王娟是亲姐妹.


定义2.3 设p，q为两 个命题，复合命题 “p或q”称作p与q 的析取式，记作pq ，称作析取联接词. 其真值表为： p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 1 1 1
例2.4 将下面命题符号化 （1）王冬梅学过日语或 俄语. （2）张晓燕生于1977年 或1978年. （3）小元元只能拿一个 苹果或一个梨.
（3 ） 、（9）无确定的真值， （6）（7）（8）分别是疑问句、祈使句和感叹句，不是陈述 句.


悖论：像例2.1中（9）这样的由真推出假，又由 假推出真来的陈述句称为悖论. 注意：凡是悖论都不是命题. 理发师悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的： “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不 给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表 示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不 给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看 见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不 能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给 自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸 呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
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例2.1 判断下列句子是否为命题.
（1）多伦多是加拿大的首都. （2） 2 是无理数. （3） x 2 5 （4）火星上有生命. （5）2050年元旦北京是晴天. （6）你会开车吗？ （7）请关上门！ （8）这个操场真大啊！ （9）我正在说谎话.




（1）（2）（4）（5）是命题。
例2.7 令p：北京比天津人口多. q：2+2=4. r:乌鸦是白色的. 求下列复合命题的真值. （1）（（ pq）（ qp））r. （2）（ qr）（ pr）. （3）（ pr）（ pr）. 真值分别是 1 1 0
解 （1）令p：雪是白色的. q：法国首都是里昂. 符号化为 pq ，p真值为 1，q真值为 0 p q 真值为 0 （2）令 p：n是奇数. q： n 2 是奇数.符号化 为（ pq）（ qp）或pq， p、q同真同假， 所以pq为 1 （ 3） 令 p： 面积相等. q： 半径相等 O1 ,O2 O1 , O2 符号化为 pq ， p、q同真同假，所以pq为 1 （4）令 p：角1与角2是对顶角.q：角1等于角2. 符号化为（ pq）（ qp）或pq，pq为真 ， qp不一定为真，所以pq为假。

定义2.5 设p，q为两命题，复合命题“p当且 仅当q”称作p与q的等价式，记作 pq ，称作等价联接词. 其真值表为：
p q pq
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
pq与（ pq）（ qp） 逻辑关系完全一致




例2.6 将下列命题符号化，并讨论它们的真值. （1）雪是白色的当且仅当法国的首都是里昂. （2）n是奇数的必要且充分条件是 n 2 是奇数. （3）若两圆 O1 , O2 的两面积相等，则它们的半径 相等.反之，若 O1 , O2 的半径相等，则它们的面积 相等. （4）设角1与角2是对顶角，则角1等于角2.反之 ，若角1等于角2，则它们是对顶角.





联接词集 ，，，， 注意：1、由联接词集中的一个联结词联结 一个或两个原子命题组成的复合命题是最 简单的复合命题，可以称为基本的复合命 题. 2、多次使用联接词集中的联结词， 可以组成更为复杂的复合命题. 本书规定的联结词优先顺序为：（）， ，，，，