2019 年吉林省长春市中考数学试卷副标题题号得分一二三总分一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）1. 如图，数轴上表示-2 的点A 到原点的距离是（）112A. -2B. 2C. -D.2【答案】B【解析】解：数轴上表示-2 的点A 到原点的距离是 2，故选：B．根据绝对值的定义即可得到结论．本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．2. 2019 年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为 275000000人次，275000000 这个数用科学记数法表示为（A. 27.5×107B. 0.275×109C. 2.75×108【答案】C）D. 2.75×109【解析】解：将 275000000 用科学记数法表示为：2.75×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：A ．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 不等式-x +2≥0 的解集为（）A. x ≥-2B. x ≤-2C. x ≥2D. x ≤2【答案】D【解析】解：移项得：-x ≥-2 系数化为 1 得：x ≤2．故选：D ．直接进行移项，系数化为 1，即可得出 x 的取值．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号 这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不 等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不 等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文 ：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x ，买鸡的钱数为 y ，可列方程组为（） 9푥 + 11 = 푦 6푥 + 16 = 푦 9푥 − 11 = 푦 6푥 − 16 = 푦 9푥 + 11 = 푦 6푥 − 16 = 푦 9푥 − 11 = 푦6푥 + 16 = 푦A. {B. {C. {D. {【答案】D【解析】解：设人数为 x ，买鸡的钱数为 y ，可列方程组为： 9푥 − 11 = 푦 6푥 + 16 = 푦{ ． 故选：D ．直接利用每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱，分别得出方程求出答案． 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．6. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3米．若梯子与地面的夹角为 α，则梯子顶端到地面的距离 C 为 （ ）A. 3sinα 米B. 3cosα 米3C. 米 푠푖푛훼 3D. 米 푐표푠훼【答案】A【解析】解：由题意可得：sinα=퐵퐶= 퐵퐶 3， 퐴퐵 故 BC =3sinα（m ）．故选：A ．直接利用锐角三角函数关系得出 sinα=퐵퐶= 퐵퐶3，进而得出答案． 퐴퐵 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 7. 如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使∠ADC =2∠B ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A. B.D.C. 【答案】B【解析】解：∵∠ADC =2∠B 且∠ADC =∠B +∠BCD ， ∴∠B =∠BCD ， ∴DB =DC ，∴点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点，故选：B ．由∠ADC =2∠B 且∠ADC =∠B +∠BCD 知∠B =∠BCD ，据此得 DB =DC ，由线段的中垂线的性 质可得答案．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及 其尺规作图．8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点 A 、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB =90°，AC =2BC ，则函数푘y = （k ＞0，x ＞0）的图象经过点 B ，则 k 的值为（ ）푥92278274A. B. 9C. D.【答案】D【解析】解：过点 B 作 BD ⊥x 轴，垂足为 D ， ∵A 、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）， ∴OA =OC =3，在 Rt △AOC 中，AC =√푂퐴2 + 푂퐶2 = 3√2， 又∵AC =2BC ， 3√22 ∴BC = ，又∵∠ACB =90°， ∴∠OAC =∠OCA =45°=∠BCD =∠CBD ， 3√22 √2 2 3∴CD =BD = × = ， 23 92∴OD =3+ = 2 93푘27∴B （ ， ）代入 y = 得：k = ， 2 2 푥4 故选：D ． 根据 A 、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知 OA =OC =3，进而可求出 AC ，由 AC =2BC ， 又可求 BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点 B 的坐标，再求出 k 的值．直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标 特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决． 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 9. 计算：3√5-√5=______． 【答案】2√5【解析】解：原式=2√5．故答案为：2√5．直接合并同类二次根式即可求解．本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并． 10. 分解因式：ab +2b =______．【答案】b （a +2）【解析】解：ab +2b =b （a +2）． 故答案为：b （a +2）．直接提取公因式 b ，进而分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 11. 一元二次方程 x 2-3x +1=0 的根的判别式的值是______． 【答案】5【解析】解：∵a =1，b =-3，c =1， ∴△=b 2-4ac =（-3）2-4×1×1=5，故答案为：5．根据根的判别式等于 b 2-4ac ，代入求值即可．本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△=b 2-4ac ．12. 如图，直线 MN ∥PQ ，点 A 、B 分别在 MN 、PQ 上，∠MAB =33°．过线段 AB 上的点C 作 CD ⊥AB 交 PQ 于点 D ，则∠CDB 的大小为______度．【答案】57【解析】解：∵直线 MN ∥PQ ， ∴∠MAB =∠ABD =33°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD =90°， ∴∠CDB =90°-33°=57°． 故答案为：57．直接利用平行线的性质得出∠ABD 的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．13. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF；再将△AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G，则△GCF 的周长为______．【答案】4+2√2【解析】解：由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=6，∴EB=AB-AE=2，由题意得，四边形EFCB 为矩形，∴FC=ED=2，∵AB∥FC，∴∠GFC=∠A=45°，∴GC=FC=2，由勾股定理得，GF=√퐹퐶2+퐺퐶2=2√2，则△GCF 的周长=GC+FC+GF=4+2√2，故答案为：4+2√2．根据折叠的性质得到∠DAF=∠BAF=45°，根据矩形的性质得到FC=ED=2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．814. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+ （a3＞0）与y 轴交于点A，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM于点B，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为______．【答案】28【解析】解：∵抛物线y=ax2-2ax+ （a＞0）与y 轴交于点A，38∴A（0，），抛物线的对称轴为x=1388∴顶点P 坐标为（1，-a），点M 坐标为（2，）33∵点M 为线段AB 的中点，8∴点B 坐标为（4，）3设直线 OP 解析式为 y =kx （k 为常数，且 k ≠0） 83 83 将点 P （1， − 푎 ）代入得 − 푎=k 8∴y =（ − 푎）x3 8883 将点 B （4， ）代入得 =（ − 푎 ×4 ）3 3 解得 a =2故答案为：2．先根据抛物线解析式求出点 A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点 M 坐标，利用点 M 为线段 AB 中点，得出点 B 坐标；用含 a 的式子表示出点 P 坐标，写出直线 OP 的解 析式，再将点 B 坐标代入即可求解出 a 的值．本题综合考查了如何求抛物线与 y 轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利用对 称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78.0 分）115. 先化简，再求值：（2a +1）2-4a （a -1），其中 a = ． 8 【答案】解：原式=4a 2+4a +1-4a 2+4a =8a +1，1当 a = 时，原式=8a +1=2． 8【解析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下 汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表 的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【答案】解：画树状图如图：共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小 球上的汉字相同的结果有 5 个，5∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 ． 9【解析】画出树状图，共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的 结果有 5 个，由概率公式即可得出结果．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的 结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比．17. 为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务．求该灯具厂原计划每 天加工这种彩灯的数量．【答案】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的 数量为 1.2x 套， 9000 9000由题意得： - =5， 푥 1.2푥解得：x =300，经检验，x =300 是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300 套．9000 9000【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，由题意列出方程：푥 - =5， 1.2푥 解方程即可．本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意 列出方程是解题的关键．18. 如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作⊙O ，点 E 在 BC 边上，连结 AE 交⊙O 于点 F ，连结 BF 并 延长交 CD 于点 G ．（1）求证：△ABE ≌△BCG ；（2）若∠AEB =55°，OA =3，求퐵퐹的长．（结果保留 π）⏜ 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE =∠BCG =∠AFB =90°， ∴∠BAF +∠ABF =90°，∠ABF +∠EBF =90°， ∴∠EBF =∠BAF ，∠퐸퐵퐹 =∠퐵퐴퐹在△ABE 与△BCG 中， {퐴퐵 = 퐵퐶 ，∠퐴퐵퐸 = ∠퐵퐶퐺∴△ABE ≌△BCG （ASA ）； （2）解：连接 OF ， ∵∠ABE =∠AFB =90°，∠AEB =55°， ∴∠BAE =90°-55°=35°， ∴∠BOF =2∠BAE =70°， ∵OA =3，70⋅휋×3 7휋∴퐵⏜퐹的长= = ．1806【解析】（1）根据四边形 ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，得到 ∠ABE =∠BCG =∠AFB =90°，根据余角的性质得到∠EBF =∠BAF ，根据全等三角形的判定 定理即可得到结论；（2）连接 OF ，根据三角形的内角和得到∠BAE =90°-55°=35°，根据圆周角定理得到 ∠BOF =2∠BAE =70°，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练 掌握弧长的计算公式是解题的关键．19. 网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位： 时）： 32.5 0.6 1.5 2.5 2.23.5 整理上面的数据，得到表格如下：1223.3 2.5 1.84 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4网上学习时间 x （时） 0＜x ≤1 人数 1＜x ≤2 2＜x ≤3 3＜x ≤4 2 585样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：统计量 平均数 中位数 众数 数值根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数 m 的值为______，众数 n 的值为______．2.4mn（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上 学习的时间．（3）已知该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人 数．【答案】2.5 2.5【解析】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5， 2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， 2.5:2.5∴中位数 m 的值为=2.5，众数 n 为 2.5； 2故答案为：2.5，2.5；（2）2.4×18=43.2（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时间为 43.2 小时． 13（3）200× =130（人）， 20答：该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人． （1）把 20 个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数； （2）由平均数乘以 18 即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数所占的比例即可．此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理 解样本和总体的关系是关键．20. 图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用 无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求 写出画法．（1）在图①中以线段 AB 为边画一个△ABM ，使其面积为 6． （2）在图②中以线段 CD 为边画一个△CDN ，使其面积为 6．（3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH ，使其面积为 9，且∠EFG =90°．【答案】解：（1）如图 ①所示，△ABM 即为所 求；（2）如图②所示，△CDN 即为所求；（3）如图③所示，四边形 EFGH 即为所求；【解析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是 解题关键．21. 已知 A 、B 两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y （千米）与甲车的行驶时间 x （时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为______千米/时，a =______，b =______． （2）求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【答案】75 3.6 4.5【解析】解：（1）乙车的速度为：（270-60×2）÷2=75 千米/时， a =270÷75=3.6，b =270÷60=4.5． 故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6=216（千米）， 当 2＜x ≤3.6 时，设 y =k x +b ，根据题意得： 1 1 2푘 + 푏 = 0 푘 = 135 푏1 = −270 { 1 1 { 1 ，解得 ， 3.6푘 + 푏 = 216 1 1 ∴y =135x -270（2＜x ≤3.6）； 当 3.6＜x ≤4.6 时，设 y =60x ， 135푥 − 270(2 < 푥 ≤ 3.6) ∴푦 = { ；60푥(3.6 < 푥 ≤ 4.5)20（3）甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间为：（270-70）÷60= （小时）， 6 20此时甲、乙两车之间的路程为：135× -270=180（千米）．6 答：当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米．（1）根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的速度； 然后根据“路程、速度、时间”的关系确定 a 、b 的值； （2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符 合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间= 路程．22. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容．例 2 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边 BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点 G ，求퐺퐸 퐺퐷1 3证：퐶퐸 = = 퐴퐷 证明：连结 ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，E 为边 BC 的中点，AE 、BD 交于点 F ．（1）如图②，若▱ABCD 为正方形，且 AB =6，则 OF 的长为______．1（2）如图③，连结 DE 交 AC 于点 G ，若四边形 OFEG 的面积为 ，则▱ABCD 的面 2 积为______．【答案】√2 【解析】教材呈现：6证明：如图①，连结 ED ．∵在△ABC 中，D ，E 分别是边 BC ，AB 的中点， 1∴DE ∥AC ，DE = AC ， 2 ∴△DEG ∽△ACG ， 퐶퐺 퐴퐺퐴퐶 ∴ ∴ ∴ = = =2， 퐺퐸 퐺퐷퐷퐸 퐶퐺:퐺퐸퐴퐺:퐺퐷 = =3， 퐺퐸 퐺퐷 퐺퐸 퐺퐷1 = = ； 퐶퐸 퐴퐷3 结论应用： （1）解：如图②．∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC、BD 交于点O，111∴AD∥BC，BE= BC= AD，BO= BD，222∴△BEF∽△DAF，퐵퐹퐵퐸1∴= = ，퐷퐹퐴퐷21∴BF= DF，21∴BF= BD，31∵BO= BD，2∴OF=OB-1BF=21BD-31BD=6BD，∵正方形ABCD 中，AB=6，∴BD=6√2，∴OF=√2．故答案为√2；（2）解：如图③，连接OE．11由（1）知，BF= BD，OF= BD，36퐵퐹∴=2．푂퐹∵△BEF 与△OEF 的高相同，퐵퐹∴△BEF 与△OEF 的面积比= =2，푂퐹同理，△CEG 与△OEG 的面积比=2，1∴△CEG 的面积+△BEF 的面积=2（△OEG 的面积+△OEF 的面积）=2×=1，23∴△BOC 的面积= ，23∴▱ABCD 的面积=4×=6．2故答案为 6．1教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE= AC，那么2퐺퐸퐺퐷1△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明= = ；퐶퐸퐴퐷3111结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF= DF，那么BF= BD，又BO= BD，2321可得OF=OB-BF= BD，由正方形的性质求出BD=6√2，即可求出OF=√2；6퐵퐹（2）如图③，连接OE．由（1）易证=2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边푂퐹퐵퐹之比得出△BEF 与△OEF 的面积比= =2，同理，△CEG 与△OEG 的面积比=2，那么△CEG푂퐹13的面积+△BEF 的面积=（2△OEG的面积+△OEF 的面积）=2× =1，所以△BOC的面积=，进223而求出▱ABCD 的面积=4×=6．2本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键．23. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20，BC=15．点P 从点A 出发，沿AC 向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿射线CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点P 到达终点时，P、Q 同时停止运动．当点P 不与点A、C 重合时，过点P 作PN⊥AB 于点N，连结PQ，以PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S，点P 的运动时间为t 秒．（1）①AB 的长为______；②PN 的长用含t 的代数式表示为______．（2）当▱PQMN 为矩形时，求t 的值；（3）当▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 之间的函数关系式；（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，直接写出t 的值．【答案】25 3t【解析】解：（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20，BC=15．∴AB=√퐴퐶2+퐵퐶2=√202+152=25．3∴푠푖푛∠퐶퐴퐵=，5由题可知AP=5t，3∴PN=AP•sin∠CAB=5푡⋅=3t．5故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN 为矩形时，∠NPQ=90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，퐶푃퐶퐴퐶푄퐵퐶∴=，由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t，20;5푡205푡∴=，1512解得 t = ，7 12即当▱PQMN 为矩形时 t = ．7 （3）当▱PQMN △ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1 所示．▱PQMN 在三角 形内部时．延长 QM 交 AB 于 G 点， 43由（1）题可知：cos A =sin B = ，cos B = ， 5 5 AP =5t ，BQ =15-5t ，PN =QM =3t ．∴AN =AP •cos A =4t ，BG =BQ •cos B =9-3t ， QG =BQ •sin B =12-4t ，∵．▱PQMN 在三角形内部时．有 0＜ QM ≤QG ， ∴0＜3t ≤12-4t ， 12∴0＜t ≤ ．7∴NG =25-4t -（9-3t ）=16-t ．12 ∴当 0＜t ≤ 时，▱PQMN 与△ABC 重叠部7 分图形为▱PQMN ，S 与 t 之间的函数关系 式为 S =PN •NG =3t •（16-t ）=-3t 2+48t ． Ⅱ．如解图（3）2 所示．当 0＜QG ＜QM ， ▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形 PQMG 时，12即：0＜12-4t ＜3t ，解得： ≤ 푡＜3，7 11▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为梯形PQMG 的面积 S = 푁퐺(푃푁 + 푄퐺)= (16 − 푡)(3푡 +2 2 112 − 4푡)= 푡2 − 14푡 +96． 2 12综上所述：当 0＜t≤ 时，S =-3t 2+48t ．当 71271 ≤ 푡＜3 S = 푡2 − 14푡 + 96 ， ． 2（4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR ∥BC ，PR 与 AB交于 K 点，R 为 MN 中点，过 R 点作 RH ⊥AB ， ∴∠PKN =∠HKR =∠B ， 3 9푡 NK =PN •cot ∠PKN =3t ⋅ = ， 4 4∵NR =MR ，HR ∥PN ∥QM ，1 1 ∴NH =GH = (16 − 푡)，HR = 퐺푀，221 1∴GM =QM -QG =3t -（12-4t ）=7t -12．HR = 퐺푀 = (7푡 − 12)． 2 2 13 3∴KH =HR •cot ∠HKR = (7푡 − 12) × = (7푡 − 12)， 2 4 8 ∵NK +KH =NH ，931 ∴ 푡 + (7푡 − 12) = (16 − 푡)， 4 82 100解得：t = ，43Ⅱ．如解题图（4）2，PR ∥BC ，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MQ 中 点，过 Q 点作 QH ⊥PR ，∴∠HPN =∠A =∠QRH ，四边形 PCQH 为矩 形，3푡 3 9푡 ∴HQ =QR •sin ∠QRH = ⋅ = 2 510∵PC =20-5t ，9푡200 ∴20-5t = ，解得 t = ． 1059 100200综上所述：当 t = 或 时，点 P 且平43 59 行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，（1）根据勾股定理即可直接计算 AB 的长，根据三角函数即可计算出 PN ．（2）当▱PQMN 为矩形时，由 PN ⊥AB 可知 PQ ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理可得퐶푃 퐶퐴 퐶푄 퐵퐶= ，即可计算出 t 的值．（3）当▱PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN 在三角 形内部时，Ⅱ．▱PQMN 有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面 积．（4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过▱PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过 MN 的中点，Ⅱ．过 QM 的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质 和可列方程计算 t 值．此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形 的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解． −푥2 + 푛푥 + 푛，(푥 ≥ 푛)， { 24. 已知函数 y = （n 为常数） 1 푛 푛 − 푥2 + 푥 + ，(푥＜푛)222（1）当 n =5，①点 P （4，b ）在此函数图象上，求 b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A （2，2）、B （4，2），当此函数的图 象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围．（3）当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4，求 n 的取值范围． 【答案】解：（1）当 n =5 时， −푥2 + 5푥 + 5(푥 ≥ 5) { y = 1 5 5 ， − 푥2 + 푥 + (푥＜5)2221 5 5 ①将 P （4，b ）代入 y =- x 2+ x + ，2 2 29∴b = ； 2②当 x ≥5 时，当 x =5 时有最大值为 5； 545当 x ＜5 时，当 x = 时有最大值为 ； 2 8 45 ∴函数的最大值为 ；8 （2）将点（4，2）代入 y =-x 2+nx +n 中， 18∴n = ，5 18 ∴ ＜n ≤4 时，图象与线段 AB 只有一个交点；5 将点（2，2）代入 y =-x 2+nx +n中， ∴n =2，1푛 푛将点（2，2）代入 y =- x 2+ x + 中， 22 2 8∴n = ， 38 ∴2≤n ＜ 时图象与线段 AB 只有一个交点；3 188综上所述： ＜n ≤4，2≤n ＜ 时，图象与线段 AB 只有一个交点； 5 3 11푛 푛（3）当 x =n 时，y =- n 2+ n 2+ = ， 222 2푛 2＞4，∴n ＞8；푛1 푛8 2 当 x = 时，y =+ ， 2 1 8 푛 31 + ≤4，∴n ≥ ， 2 2当 x =n 时，y =-n 2+n 2+n =n ， n ＜4；31∴函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时，n ＞8 或 n ≤ ＜4．2 1 5 5 【解析】（1）①将 P （4，b ）代入 y =- x 2+ x + ；②当 x ≥5 时，当 x =5 时有最大值为 5； 22254545当 x ＜5 时，当 x = 时有最大值为 ；故函数的最大值为 ； 28 8 18 18 （2）将点（4，2）代入 y =-x 2+nx +n 中，得到 n = ，所以 ＜n ≤4 时，图象与线段 AB 只 551푛 푛8 有一个交点；将点（2，2）代入 y =-x 2+nx +n 和 y =- x 2+ x + 中，得到 n =2，n = ， 22 2 38所以 2≤n ＜ 时图象与线段 AB 只有一个交点；3 푛푛1 푛31（3）当 x =n 时，＞4，得到 n ＞8；当 x = 时，+ ≤4，得到 n ≥ ，当 x =n 时 ，y =-n 2+n 2+n =n ， 2 2 822n＜4．本题考查二次函数的图象及性质；能够根据给出的分段函数画出函数图象，数形结合解决问题时关键．。