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1. 填空题
设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间(1, 2), (2, 3),(3, 4) 上.
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2.验证罗尔定理对函数 f (x) In在sin区x间
上(的 ,正5确) 性。 66
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正实根 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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f (x) C[0, ], 且在 ( 0, ) 内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
(c) 端点处函数值相等. y
o 1x
2) 定理条件非必要，只是充分的.
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例2:不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个
零点，以及其所在范围。 解：
因为f(1)=f(2)=f(3)=0, f(x)在[1, 2], [2, 3]上满足罗尔定理 的三个条件，
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 . 设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1), 使 f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
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有且仅有一个小于1 的
正实根 . 2) 唯一性 .
B. f (x) x .
C. f (x) 1 x2
D.f (x) x c. f (x) 1 x2 (2)上述函数中，求满足罗尔定理条件的
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注一定成立. 例如：
(a) 闭区间内连续.
y
(b) 开区间内可导.
o 1x
y
1 o 1 x
且
(或 )
证: 设 则
0 0
存在
y
o x0 x
二.罗尔(Rolle)定理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
几何解释:
y
C
如果连续光滑的曲线
yf(x) 在端点 A、B 处的
所以在(1, 2) 内至少存在一点 x1,使 f (x1)=0, x1是 f (x)的 一个零点。
同理，在(2, 3)内至少存在一点x2,使f (x2)=0, x2也是 f (x)的一个零点。
f (x) 是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间(1, 2)及 (2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设 F(x ) f (x )sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
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谢谢！
A
纵坐标相等。那么，在
曲线弧上至少有一点
Oa
C( , f())，曲线在 C点
的切线平行于 x 轴。
yf(x) B bx
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证明： f(x)在区间 [a , b] 上连续,必有最大值M和最小值m
例1:
(1)下面函数中，在[-1,1]上满足罗尔定理条件的
是
A. f (x) 1 . x
高等数学
中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange)中值定理,费马定理是它的预备定理 ,罗尔定理是它的特例,柯西定理是它的推广。
一、罗尔( Rolle )中值定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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一.预备定理——费马(Fermat)定理