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~~Βιβλιοθήκη （5）左 Cauchy-Green 变形张量 b
（6）Almansi 变形张量 A
2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为 (X ,Y ) ，经过 t 时刻后，变为 (x, y)，其中：
x = X + atY ， y = Y ，其中 a 是常数。
求：
（1）变形梯度 F
（2）Green 变形张量 E
连续介质力学作业（第二章）习题
1、初始构型和当前构型的转换关系：
x1 = X 1 +
2 2
X 2 ， x2
=
2 2
X1+
X 2 ， x3
=
X3
其中 (X1, X 2 , X 3 ) 为一个物质点在初始构型上的坐标， (x1, x2 , x3 )为同一个物质点在当前构型上的坐标。参考
基是 e1, e2 , e3 标准正交基
~~~
求：
（1）变形梯度 F
（2）右 Cauchy-Green 变形张量 C
（3）Green 变形张量 E
（4）初始构型上一向量 X ~
=
X 1 e1 +
~
X2
e2 +
~
X 3 e3
~
，变形后在当前构型上是 x ，证明 ~
( ) x• x = X • C • X 和 x• x− X • X = X • 2E • X
7. 可压缩理想流体本构方程：σ = − p(ρ )I 。即一点处压力 p 是密度 ρ 的函数。证明这个本构方程满足客观性 原理，即σ '= − p(ρ')I
8. 试由 Cauchy 应力的客观性证明 Kirchhoff 应力是客观的。
k Yy
x
k
X
k
k
求：
（1）还是参考笛卡尔坐标系，求 Cauchy 应力σ
•
（2） σ
（3）速度梯度 L
•
（4） ε
•
（5）Cauchy 应力的 Jaumann 速率σ JC
•
•
可验证： ε 为 0 时，σ 不为 0，不能直接建立二者之间的本构关系。
6. 左极分解和右极分解的左拉伸张量(V)和右拉伸张量(U)各自的特征向量是否相同？试给出说明。
（4） L
•
•
（5） E ， ε
（6）Cauchy 应力σ ，2nd P-K 应力 S ，1st P-K 应力 P
•
•
•
∫ （7）验证 σ : εdv = ∫ S : EdV = ∫ P : FdV
v
V
V
5、均匀拉杆受轴向拉力，拉力同时也随杆一起转动。考虑二维情况，取笛卡尔坐标系，初始水平状态， x 方向 轴向应力 k ，逆时针旋转，转速为 ω ，经过 t 时刻后。
（3）速度梯度 L
•
（4）变形张量率 ε
•
（5）Green 应变速率 E
3、证明：
（1）若 B 为客观张量，证明 B 2 ， B n 是客观张量。
（2）若 M 、 N 为客观张量，证明 M • N 是客观张量。
4、横截面为圆形的杆，单轴拉伸，拉力为 P ，初始长度 L ，半径 R ；当前长度 l ，半径 r 。如图： ~ P ~ P ~
R L
r
x
l
z
y
初始时刻坐标为 (X ,Y , Z )，经过 t 时刻后，变为 (x, y, z)。
x = λ1 X
y = λ2Y
z = λ3Z
其中 λ1
=
l L
求：
λ2
=
λ3
=
r R
（1） R ， F ，U ，V
（2） C ， E ， b ， A
（3）验证：当 λ1 ， λ2 ， λ3 趋近于 1 的时候， E 和 A 近似相等