质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）； 能量守恒（热力学定律）； 有限变形及连续性条件（几何方程）。 2）材料本构方程 不同材料具有不同特性是材料属性，这属性称为本构属性。本构属性的描述为本构方 程。在本课程中，只讨论本构方程的框架（形式）。 具体本构方程只有通过实验得出，本构方程包含：①应力、应变关系；②材料常数。 本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为： ① 基本连续介质热力学的内变量理论； ② 基于理性化公理的本构方程原理。 所得到的本构方程框架具有本构方程的指导原则。 非线性方面在下面两个方面反映： ① 有限变形—称为几何非线性。 ② 本构方程非线性—称为物理（材料）非线性。 若同时考虑以上两个方面的非线性因素，则称为双非线性问题。
⑤ 空间的元素若为矢量，则基元素称为基矢。如前所述，不同坐标系的基矢之间存在
确定的变换关系，它是坐标变换的基础。
正交基：各基矢相互正交的基，称为正交基。
标准正交基：基矢为单位矢量的正交基，称为标准正交基。
现以欧氏空间为例，欧氏空间为三维空间。
在欧氏空间内，笛卡儿坐标系为标准正交基，记作 ei ，在 此坐标系内，任一矢量 r （位矢）为
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第 2 章 张量分析
第 2 章 张量分析
§2.1 矢量空间
1．线性矢量空间 设有 n 个矢量 ai ,i = 1, 2,", n ，它们构成一个集合 R ，其中每个矢量 ai 称为 R 的一个
元素。若 ai + a j (i ≠ j) 唯一地确定 R 的另一个元素，及 kai（ k 为标量）也给定 R 内唯一确 定的元素，则称 R 为线性（矢量）空间。 R 中的零元素记为 O ，且具有 O ⋅ ai = O .
2．空间的维数
设α i 为 m 个标量，若能选取α i ，使得
m
∑αiai = 0
i =1
（2.1.1）
且α i 不全为零，则称此 m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例 1 位于同一平面内的两个矢量 a1 和 a2 （如图
2.1.1）是线性无关的，即
a1
α1a1 + α2a2 ≠ 0 （α1 和α 2 可为任意值，
∑ ∑ r =
ξ a = (1) (1) ii
ξ a (2) (2) ii
（2.1.3）
因为
a (1) i
与
ai(
2)
间有确定的变换关系，因此，
ξ
(1) i
与
ξ
(2) i
间亦有确定的变换关系。
④ 空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)
式中ξi 则是矢量 r 在基 ai 或以 ai 为坐标方向的分量值。
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第 1 章 绪论
7．功和能
力和沿力方向位移的乘积称为功。 物体的动能等于其质量和速度平方乘积的一半。 功、能可互相转换。 能量是纯量，服从能量守恒和转化定律，不能无中生有，也不能被消灭。
8．温度和热
温度是物体冷热程度的度量。 当存在温度差时，将会形成热流，热流有大小和方向，随着热流的存在，热将从一个物 体流向另一个物体，并以能量形式表示出来。同时物体内的受力也随之变化。
§1.2 连续介质力学中的“基元”——基本名词和术语
连续介质力学以现实物体的理论模型作为研究对象，并力求使它能在本质上准确地描写 客观物体的运动。为了描写运动，需要给出一些基本的名词和术语，它们构成连续介质力学 的“基元”，通过一些定律、理论和公式，把这些名词和术语相互连系起来，便构成连续介 质力学的理论体系。我们要力求将这些名词和术语说得准确些。
学习固体力学（材料力学、弹性力学，非线性连续介质力学）容易，但应用和研究会 有很大的难度。
应用和研究是分不开的，要做好应用要做到： 1）．读好书（上述教材及某一领域的专业书籍），融会贯通，深入到理论的精微之处； 2）．消化文献（不仅是看文献，而且要看懂），借鉴前人的应用和研究之道； 3）．实践出真知，探索独到之处，开通创造之源。 上述过程其实也是相互交错地进行，硕士或博士毕业也仅仅是应用和研究的开始。
4．运动
物体状态或各种参数随时间的变化过程称为运动。 物体的运动满足某些一般的规律，如质量、动量、能量和电荷等的守恒定律。
5．动量
动量是物体机械运动的度量。 质点的线动量等于某质量和运动速度的乘积；动量是矢量，服从矢量运动规则；物体的 总动量是各部分动量的矢量和。
6．力
物体线动量的变化率等于作用于其上的合力，力是改变物体运动的原因。 根据力存在的性质，力可分为：内力和外力； 根据力的作用形式，力可分为：集中力、线分布力、面力和体力等。 力的单位为：N 或 kN.
具体内容为：（不针对某一具体物性的物体） 1） 有限变形（变形大小不限），研究其描述； 2） 应力和应变增率； 3） 连续介质热力学； 4） 本构方程原理。
2．方法
非线性连续介质力学的基本方程含物理基本定律和材料本构方程两类： 1）物理基本定律（适用于所有材料）
动力学定律（牛顿定律）；
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第 1 章 绪论
正交基。
正交曲线坐标系的基亦为正交基，记作 gi ，用θ i 表示坐 标值，则基矢 gi 定义为
x2 r = xiei
x1 x3
图 2.1.4 空间笛卡儿坐标中位矢的表示
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第 2 章 张量分析
gi
=
∂r ∂θi
dr = ∑ dθi gi
① gi 随坐标位置而变化. ② gi ≠ 1 . ③ gi 之间相互正交。 因此 gi 是正交基，但不是标准正交基。
n
∑αi′ai ≠ 0 ，α i′ 为任意的不全为零的标量
i =1
但总可选取α 0 ≠ 0 及α i 不全等于零，使得
n
∑ α0r + αiai = 0 i =1
或者
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第 2 章 张量分析
∑ ∑ r
=
n i =1
(− αi α0
ai ) =
n
ξiai
i =1
（2.1.2）
① 因为α 0 ≠ 0,α i 不全等于零，所以ξi 不全等于零，且为有限值。
② Rn 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为 Rn 内至多只有 n 个元素是线性无
关的。设
a (1) i
及
ai(
2
)
是
Rn
的两个基，则
a (1) i
中的每个基元素都可用
ai(
2)
的线性组合来表示；
反之亦然，因此， Rn 中的任两个基元之间存在唯一的变换关系。
③ 对于同一个元素 r ，采用不同的基时，其系数ξi 不同。
例如：在极坐标系内
dr = dθ1g1 + dθ2 g2 [0,1]
θ1 = r,θ2 = ϕ dr = drg1 + dϕ g2
dr
dϕg 2
dϕ
dϕ drg1
ϕ
图 2.1.5 极坐标中位矢及其增量的表示
Hale Waihona Puke 其中 drg1 = dr, C g1 = 1, dϕ g2 = rdϕ ，因此，
g2 = r 。令 gi = Hi （拉梅系数）及
b1
=
1 H1
g1
bi
=
1 Hi
gi
b2
=
1 H2
g2
b3
=
1 H3
g3
则 bi 为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有
ei
⋅ej
=
bi
⋅bj
= δij
=
⎧1 ⎨⎩0
i= j i≠ j
（2.1.4） （2.1.5）
将力学中的各个分支学科放在一起讨论，看看哪些规律是它们共有的，哪些规律互不 相同，进而在统一的基础上加以研究，这是连续介质力学研究的重要内容。所以连续介质力 学既可以看成各分支学科的出发点，也可看成是各学科分支的归宿。作为出发点，定给出了 各分支学科的骨架；而作为归宿，它却是有血有肉，用骨架支撑起来的客观有机体。
9．熵
熵是热力学第二定律的数学表述中引进一个态函数。 熵是可加函数，系统的熵等于各部分熵的和。 特性：系统的熵的变化永不小于系统由环境得到的热量与得到（或放出）此一热量时的 热力学温度的比值。 理性热力学把熵看成无须用其它物理量定义的“本原量”。
§1.3 连续介质力学研究的内容和方法
1．内容
连续介质力学研究连续介质（包括固体、流体、松散介质、颗粒体等）的变形和运动， 也研究其破坏机理。
∑ r = xiei = x1ei + x2e2 + x3e3
r = x1e1 + x2e2
ei 是不因坐标位置而改变的 dr = ∑ dxiei
ei
=
∂r ∂xi
图 2.1.3 平面笛卡儿坐标中位矢的表示
当只一个坐标有变化时，例如 x1 有变化
dr = dx1e1
此时， dr = dr = dx1 ，因此， e1 为单位矢量。 ei 都等于 1，且彼此正交，故笛卡儿坐标系的基为标准
3．时空系
时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。
标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。 位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。 但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。 时空系之间可转换。
图 2.1.1 平面上两个矢量线性无关
a1
a3
a2
3．空间的基和基元素
图 2.1.2 平面上三个矢量线性相关
Rn 中任意 n 个线性元素无关元素的全体称为 Rn 的一个基。基的每个元素称为基元素，由于 Rn 的 n 个基元素是线性无关的。于是 Rn 内任一 个元素 r 可表示成基元素的线性组合。设 ai (i = 1, 2,", n) 为 Rn 的任选的基，则有