变形梯度 （重要应用之一） 将当前构形和参考构形上的积分联系起来
f x, t d f ΦX, t , t Jd
0
0
或


fd fJd0
0
二维域
f x, y dxdy f X , Y JdXdY
0
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
数学
+
力学
+
第3章 连续介质力学 1. 引言 2. 变形和运动 3. 应变度量 4. 应力度量 5. 应变率及框架不变性 6. 守恒方程 7. Lagrangian守恒方程
1. 引 言
1 引言
连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结 构的宏观行为的模型。 它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至 多具有有限个不连续点。 它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。
2. 变形和运动
2 变形和运动
本课程只考虑正交 直角坐标系，不区 分协变、逆变基矢
x ( X , t)
在初始域和当前域 之间的映射
初始构形 当前构形
Hale Waihona Puke X X i ei X i ei
i 1
nSD
材料点的位置矢量
x xi ei xi ei
i 1
nSD
ei -直角坐标系的单位基矢量，xi -位置矢量的分量。
位移
uX, t ΦX, t ΦX,0 ΦX, t X x X
ui xi X i
速度
v X , t
ui i X j , t X i
Φ X , t u X , t u t t
速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数
矢量场的左梯度
f f f gradf f i x j y k z
2 变形和运动
运动描述
空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 对于标量函数 和张量函数
f x, t
ij x, t
2 变形和运动
运动条件
连续可微，一对一（F可逆），J > 0 第一个条件，变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在 某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运 动及其导数中非连续的数量是有限的。实际发现，有些非线性解 答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能 被有限元有效地处理，所以不关注这些解答。 第二个条件，即运动为一对一的，要求在参考构形上的每一 点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是 F 规则 的必要充分条件，即F是可逆的。当变形梯度F是正常的， 则 J 0 ，因为当且仅当 J 0 时F的逆才存在。因此，第二个和 第三个条件是有联系的，后者更强。 第三个条件，更强的条件， J 必须为正而不仅非零，在第 3.5.4节看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可能 违背，例如在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。
材料坐标左 梯度的转置
直角坐标系下二维的变形梯度给出为
x1 x X 2 X x2 y X 2 X
x Y y Y
F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式
J det F
2 变形和运动
sin r x cos r y
t X x X, t R T t x
或
t X x i X, t R Ti t x ij j
空间坐标
RT x x x R T Ω x xT x T vx T
vi DJ J Jdivv J Dt xi
左散度
divv v i x j y k z v1i v2 j v3k v v v 1 2 3 x y z


2 变形和运动
其材料时间导数给出为
Df f f f f vi v f v grad f Dt t xi t t
D ij Dt

ij t
vk
ij xk

σ σ v σ v grad σ t t
v x , x v grad v vx , y vy,x vy, y
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 xi i X , t
当参考构形与初始构形一致时，在 t ＝ 0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致
X xX,0 ΦX,0
一致映射
ΦX, t
材料坐标 X i 为 常 数 值 的 线 被 蚀 刻 在 材 料 中 ， 恰 似 Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时， 这些线就不再是 Cartesian 型。这种观察方式下的材料坐标被 称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时， 它们不随时间改变。建立的方程是在参考构形上观察材料坐标， 因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。
运动条件
一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动与坐标转 换的关系为
xX, t Rt X xT t xi X, t Rij t X j xTi t
1 T Rij Rij Rij
RT R I
R1 RT ,
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。图示一个矩形单 元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出单元的边发生转动，但 是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X 或Y 坐标为常数的直 线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。
Good for material laws
x x X ,t
EULERIAN
Relation between observer and ‘spatial unit’ fixed in time Good for laboratory measurements
Material volume material point
非线性有限元
第3章 连续介质力学
庄 茁 柳占立
2016年10月13日
绪论 连续介质力学 （Ch.3) 完全的Lagrangian有限元格式（Ch.4) 更新的Lagrangian有限元格式（Ch.4)
应力率及应力更新（Ch.3、5)
本构关系 （Ch.5) 显式求解方法和稳定性 （Ch.6) 隐式求解方法和稳定性 （Ch.6) 数值 方法
Dvi x, t vi x, t vi x, t j X, t vi vi vj Dt t x j t t x j
Dvx, t vx, t v v v v grad v Dt t t
对流项、迁移项
角速度
RT Ω R
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
12 0 0 3 3 0
动力学教材中的刚体运动方程
ω x xT vT vx
例3.1
3节点三角形有限元，设节点的运动为
x 1 t y1 t 0 x 2 t 21 at cos
t
2 t x3 t 1 btsin , 2
,
2 t y 3 t 1 bt cos 2
y 2 t 21 atsin
t
(1)
求解变形梯度F和Jacobian行列式为时间的函数， J det F 当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
Control volume Spatial point
2 变形和运动
运动描述：（几个基本量，两种导数）
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
加速度
vX, t 2 uX, t aX, t v t t 2
2 变形和运动
运动描述：
独立变量是空间坐标 x 和时间 t，称为空间或Eulerian描述
v v( x, t ) vΦX, t , t
通过链规则得到材料时间导数 （全导数）
空间时间导数
左梯度矩阵
2 变形和运动
小结： u = displacement u=x−X x is the current position = (x, y) in 2D X is the reference position = (X, Y ) in 2D x also denotes spatial (Eulerian) coordinates X also denotes material (Lagrangian) coordinate
运动条件
除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射
ΦX, t
满足以下连续性条件： 连续可微，一对一（F可逆），J > 0
这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中 不存在缝隙和重叠。然而，运动及其导数可以是非连续（如裂纹或界 面），或者在零尺度集合上具有非连续的导数，所以它是分段连续可 微的。附加上不包括零尺度集合的条件以考虑裂纹形成的可能性。 在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况 中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一 条线具有零面积，一个表面具有零体积。
一个 L 网格的刚体转 动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中 观察到的材料坐标。
2 变形和运动
二维问题 运动