豫南九校2019-2020学年上期期末联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}2,1{=A ，则集合},|),{(A y A x y x B ∈∈=中元素的个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．42.已知P ：直线01:1=-+y ax l 与直线0:22=++a ay x l 平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ． -1 C ． 0 D ．-1或13.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)21()(2x x x x f x，则=))81((f f （ ）A ．41 B ． 4 C ． 81D ． 8 4.设βα,是两个不同的平面，m 是直线且α⊂m ，β//m ，若使βα//成立，则需增加条件（ ）A ． n 是直线且α⊂n ，β//nB ．m n ,是异面直线，β//n C. m n ,是相交直线且α⊂n ，β//n D ．m n ,是平行直线且α⊂n ，β//n 5.已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ． )1,(-∞ B ． ]1,(-∞ C. ),2(+∞ D ．),2[+∞6.已知矩形ABCD ，6=AB ，8=BC ，沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起，若D C B A ,,,四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）A ．π36B ．π64 C. π100 D ．π2007.设)(x f 是定义在实数集上的函数，且)()2(x f x f =-，若当1≥x 时，x x f ln )(=，则有（ ）A ．)2()0()1(f f f =<-B ．)2()0()1(f f f =>- C. )2()0()1(f f f <<- D ．)2()0()1(f f f >>-8.已知bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，那么)(x f 的最大值是（ ） A ． 0 B ．31 C. 274 D ．1 9.某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）A ． 1B ．34 C. 23D ．2 10.已知实数y x ,满足方程01422=--+x y x ，则x y 2-的最小值和最大值分别为（ ） A ． -9，1 B ．-10，1 C. -9，2 D ．-10，211.已知函数12)(2+-=x ax x f ，若对一切]2,21[∈x ，0)(>x f 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． ),21[+∞B ．),21(+∞ C. ),1(+∞ D ．)1,(-∞12.已知BD AC ,为圆922=+y x O ：的两条互相垂直的弦，且垂足为)2,1(M ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A ． 10B ．13 C.15 D ．20二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数)1(log )(221-=x x f 的单调递增区间为 ．14.已知集合}6)2()1(|),{(22=++-=y x y x A ，}052|),{(=-+=y x y x B ，则集合B A I 中子集个数是 ．15.如图，已知圆柱的轴截面11A ABB 是矩形，AB AA 21=，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11B A 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为 ．16.已知函数⎩⎨⎧≥+-<+-=1,241|,1|1)(2x x x x x x f ，则函数12)()2()(+--=x x f x x g 的零点个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集R U =，集合}1log 0|{3<<=x x A ，集合}12|{m x m x B -<<=. （1）当1-=m 时，求B A Y ，B A C U I )(； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.18. 已知直线0)()2(:=-+++-b a y b a x b a l 及点)3,1(P . （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 19. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，xxx f 31)(-=. （1）求)(x f 的解析式； （2）解不等式8)(x x f -<. 20. 已知圆C 经过点)1,2(-A ，)3,0(-B 和直线1=+y x 相切. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点)0,2(B ，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 21. 如图，四面体PABC 中，⊥PA 平面ABC ，1=PA ，1=AB ，2=AC ，3=BC .（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？ （2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，并求MCPM的值. 22.已知函数x x f 3log 23)(-=，x x g 3log )(=.（1）当]9,1[∈x 时，求函数)(]1)([)(x g x f x h •+=的值域；（2）如果对任意的]9,1[∈x ，不等式k x f x f >•)()(2恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数)(]2)([)(x f x ag x F •+=的最大值为0，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.豫南九校2017—2018学年上期期末联考高一数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．2．解析：选A 由于直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x ＋ay ＋2a ＝0平行所以012=-a ，即=a －1或1，经检验1=a 成立。
3．解析：选D. ∵381log 812-==⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴821)3(813=⎪⎭⎫⎝⎛=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f .故选D. 4．解析：选C. 由直线和平面平行的判定定理可得。
5．解析：选B.函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]．6．解析：选C.矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的 直径，所以该球面的面积为π100。
7．解析：选B. 由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以)2()0(f f =，)3()1(f f =-，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以)2()0()1(f f f =>-，故选B.8．解析：选C. ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴231)(x x f =，所以2743231)(2min =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=x f9．解析：选B. 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D 1BCB 1，如图所示，该四面体的体积为342222131=⨯⨯⨯⨯=V 。
故选B ．10．解：选A. y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时55022=+-⨯b，解得b ＝－9或1．所以y －2x 的最大值为1，最小值为－9．11．解析：选C 。
由题意得，对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，即1)11(1212222+--=-=->x x x x x a ， 而11)11(2≤+--x，则实数a 的取值范围为()+∞,1.12．解析：选B 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝5，∴|AC |2＋|BD |2＝4(9－|OP |2)＋4(9－|OQ |2)＝52．又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |=4225252AC AC ACAC -=-⋅，当262=AC 时，|AC |·|BD |有最大值26，此时S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |=12×26＝13，∴四边形ABCD 面积的最大值为13．故选B ．二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．解析：由x 2－1>0得x <－1或x >1，又u ＝x 2－1在(－∞，－1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，y ＝log 12u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)14．解析：由题意知B A ⋂中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5＜6，所以直线与圆相交．故集合B A ⋂中子集个数为4. 答案：415．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1 的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ， 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是矩形， AA 1=2AB 所以C 1D ＝22AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为22， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为22． 答案：2216．解析：由012)()2()(=+--=x x f x x g ，得232212)(-+=--=x x x x f ，作出y ＝f (x )， 232-+=x y 的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3． 答案：3三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）解：（1）由题得集合A ＝{x |0＜x 3log ＜1}={x |1＜x ＜3} 当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，...........2分 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．...........3分]1,2(}22|{}31|{)(-=<<-⋂≥≤=⋂x x x x x B A C U 或（2）由A ∩B ＝A ，得A ⊆B . ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，.解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． 18．（本题12分）解：（1）证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0， 由⎩⎨⎧=-+-=++01012y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3132y x ，所以直线l 恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32．（2）由（1）知直线l 恒过定点A ⎪⎭⎫⎝⎛-31,32，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率58)32(1313=---=k ，所以直线l 的斜率k l ＝－85． 故直线l 的方程为)32(8531+-=-x y ，即15x ＋24y ＋2＝0． 19．（本题12分）解：（1）因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x=0时，f (x )＝0， 当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝x1－3x ，.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )，＝－－x 1－3－x ＝x1－3－x ..综上所述：此函数的解析式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-=-.0,31,0,0,0,31)(x xx x xx f x x .（2）f (x )<－x 8，当x=0时，f (x )<－x8不成立；当x >0时，即x 1－3x <－x 8，所以11－3x <－18，所以13x－1>18，所以3x－1<8，解得x <2， 当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18，所以3－x >32，所以x <－2，综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．20．解：（1）由题知，线段AB 的中点M(1,－2)，120)1(3=----=AB k ,线段AB 的垂直平分线方程为)1(2--=+x y ，即1--=x y ，设圆心的坐标为C (a ，－a －1)， 则2|11|)11()2(22---=+--+-a a a a ，化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝2．∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2． （解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C 到直线l 的距离112=-=d ，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2， 满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，由题意得11|2)21(|2=++-kk ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34（x －2）．综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －6＝0． 21．解：（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，可得222AC BC AB =+,所以BC AB ⊥,由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ⊂平面ABC ,所以BC PA ⊥，PA AB ⊥,所以2=PB ,又由于PA∩AB＝A ，故BC⊥平面PAB, PB ⊂平面PAB,所以PB BC ⊥,所以ACB ∆，PAC ∆,PAB ∆,PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，263221=⨯⨯=∆PCB S ．（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ． 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ． 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ． 因为ABN ∆与ACB ∆相似，21=⋅=AC AB AB AN ， 从而NC ＝AC －AN ＝32．由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13．22．解：（1）h (x )＝(4－2log 3x )·log 3x ＝－2(log 3x －1)2＋2， 因为x ∈[1,9]，所以log 3x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]．（2）由f (x 2)·f (x )>k ， 得(3－4log 3x )(3－log 3x )>k ，令t ＝log 3x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立， 令9154)3)(43(2+-=--=t t t t y ，其对称轴为815=t ， 所以当815=t 时，y 的最小值为1681-， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，1681-)．.（3）假设存在实数a ，使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ⋅+=的最大值为0，由)(]2)([)(x f x ag x F ⋅+=)log 23)(2log (33x x a -+=6log )43()(log 2323+-+-=x a x a因为R x ∈3log ,则有⎩⎨⎧=⨯-⨯--<-06)2(4)43(022a a a ，解得φ∈a ，所以不存在实数a ， 使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ⋅+=的最大值为0。