河南省豫南九校联考2018-2019学年
高一上学期期末考试数学试题
一、选择题
1.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 垂直
【答案】D
【解析】由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，
综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．故选：D．
2.已知直线l经过点，且斜率为，则直线l的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】直线经过点，且斜率为，则，
即，故选A.
3.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，
则BC是AB在平面α内的射影，
则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．故选C．
4.下列函数中，满足的单调递增函数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，对于，有，满足，符合题意；
对于B，，为对数函数，不满足，不符合题意；
对于C，，为指数函数，不满足，不符合题意；
对于D，，为指数函数，不满足，不符合题意；
故选：A．
5.若直线：过点，：，则直线与
A. 平行
B. 相交但不垂直
C. 垂直
D. 相交于点
【答案】C
【解析】直线：过点，
，，
直线：的斜率为2，
：的斜率为，
直线与：互相垂直．故选：C．
6.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体中可以从左向右看得到，则该几何体的侧视图为D.
7.已知函数，则=（）
A. 4
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，函数，则，
所以，选B.
8.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为
A. 相交
B. 平行
C. 异面而且垂直
D. 异面但不垂直
【答案】D
【解析】利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D.
9.已知函数，且，当时，，方程表示的直线是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵f(x)=a x，且x<0时，f(x)>1，∴0<a<1，>1.
又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和，且|-|>，故C项图符合要求.
10.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是（）
A. B. 截面PQMN
C. D. 异面直线PM与BD所成的角为
【答案】C
【解析】因为截面PQMN是正方形，所以、，
则平面ACD、平面BDA，所以，，
由可得，故A正确；
由可得截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．故选：C．
11.已知在上的减函数，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，，
若，则函，是减函数，
由题设知为增函数，需，故此时无解；
若，则函数是增函数，则t为减函数，
需且，可解得
综上可得实数a的取值范围是
故选：B．
12.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该
木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈尺寸，，)
A. 600立方寸
B. 610立方寸
C. 620立方寸
D. 633立方寸
【答案】D
【解析】连接，
设⊙的半径为，则，所以.
由于，所以，即.
所以平方寸．
∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．
二、填空题
13.已知直线，则直线恒经过的定点______．
【答案】
【解析】将直线化简为点斜式，可得，
∴直线经过定点，且斜率为．
即直线恒过定点．故答案为：．
14.在中，，，，平面ABC，，M是AB上一个动点，则PM的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，作于H，连接PH，
面ABC，，PH为PM的最小值，
而，，．故答案为：.
15.已知集合，集合，则__．
【答案】
【解析】解不等式：log2（2x-4）≤1得：0＜2x-4≤2，即：2＜x≤3，即A=，
由y=（）x，x，求其值域得：0＜y，即B=，
即A∩B=，故答案为：．
16.平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是_____(填上所有你认为正确的序号)
正三边形正四边形正五边形正六边形
钝角三角形等腰梯形非矩形的平行四边形
【答案】
【解析】画出截面图形如图：
可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故正确，错误；
可以画出正四边形，故正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形但此时不可能是正五边形，故错误；．
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故正确；
可以画出梯形但不是直角梯形，故正确．
可以画出非矩形的平行四边形，故正确．
故平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．
故答案为：．
三、解答题
17.已知直线l的方程为，直线与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程．
解：由题意可设直线的方程为：，
可得与两坐标轴的交点分别为：，
则，解得．
直线的方程为：．
18.设函数．
当时，求函数的零点．
当时，恒成立，求m的最大值．
解：时，，
由，可得或，
则的零点为1或；
当时，恒成立，
可得在的最小值，
由在递增，可得函数y的最小值为3，
即有，即m的最大值为3．
19. （10分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）证明：四边形EFGH是矩形．
（1）解：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，
BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC．
∴四面体体积V=××2×2×1=.
（2）证明：∵BC∥平面EFGH，
平面EFGH∩平面BDC=FG，
平面EFGH∩平面ABC=EH，
∴BC∥FG，BC∥EH．∴FG∥EH．
同理EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG．∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC．∴EF⊥FG．
∴四边形EFGH是矩形．
20.已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为边上的高BH所在直线为求：
顶点C的坐标；
直线BC的方程．
解：（1）直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，
解方程组得，则C点坐标为（4，3）．
（2）设B（m，n），则M（，），
，整理得，解得，
则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），
即直线BC的方程6x﹣5y﹣9=0．
21.已知四棱锥的底面为菱形，且，，，O为AB的中点．
(1)求证：平面ABCD；
(2)求点D到面AEC的距离．
(1)证明：连接CO.
∵，∴△AEB为等腰直角三角形．
∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1.
又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO＝.
又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.
又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
(2)解：设点D到平面AEC的距离为h.
∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝.
∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，V D－AEC＝V E－ADC，
∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝，
∴点D到平面AEC的距离为.
22.已知函数．
判断并证明在上的单调性；
若存在，使得在上的值域为，求实数a的取值范围．解：（1）
所以在上的单调递增.
（2）因为在上的单调递增，
所以若存在使得在上的值域为则有
也就是即在区间上有两个不同的根. 令要使在区间上有两个不同的根，
只需，解得
则实数的取值范围为。