板块一 一元二次方程的概念1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 2.一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．3.一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 4.一元二次方程的识别：判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．板块二 一元二次方程的解法1.直接开平方法对于形如2x m =或2()ax n m +=（0a ≠，0m ≥）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解 如2x m =（0m ≥）的解为x =，即1x =2x =如2()ax n m +=（0m ≥）转化为ax n +=ax n +或ax n +=进行求解 当0m <时，方程2x m =和2()ax n m +=均无解 2.配方法通过配方的方法把一元二次方程转化为形如2()ax b m +=的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。
用配方法解一元二次方程的步骤如下：（1）把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边 （2）根据等式的性质把二次项的系数化为“1”（3）把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。
用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法 3.公式法：x =（2b -4ac ≥0）一元二次方程的概念及解法新知学习一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来，公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般解法，也是求一元二次方程解的万能公式.(1)求根公式解释:由求根公式可知,一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求出一元二次方程的根.(2)注意被开方数2b -4ac 必须是非负数,.(3)若2b -4ac ≥0,则把a,b,c 及2b -4ac 的值代入一元二次方程的求根公式a2ac4b ±b =x 2﹣﹣,求出1x ,2x .若2b -4ac <0,则方程没有实数根. 4.分解因式法：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法称为分解因式法. 注：（1）分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解,体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要.(2）分解因式法的理论依据是:两个因式的积等于0那么这两个因式中至少有一个等于0. (3）分解因式法简便易行,是解一元二次方程最常用的方法.一般步骤为:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.一．二次方程的概念1.一元二次方程的定义：【例1】判别下列方程哪些是一元二次方程（1）2370x +=； （2）20ax bx c ++=； （3）2(2)(3)1x x x -+=-； （4）240x -=； （5）2(10x -=； （6）24360x x-+=【例2】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项（1）2(21)(32)2x x x -+=+ （2）2)(3)x x x =+基础演练【练一练】方程223x -=，化为一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是【练一练】先把下列的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项（1）23x -=；（2）25(6)100x +=；（3）2(32)(23)4x x x +-=+；（4）211(2)52x x +=【例3】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【练一练】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【练一练】已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【练一练】若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 【例4】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠【练一练】m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．【例5】已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【练一练】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【练一练】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．2.一元二次方程根的考察【例6】已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则21a -的值是（ ）A.3B.4C.5D.6【练一练】关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【练一练】若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，则（ ）A.a b =B.0a b +=C.1a b +=D.1a b +=-【例7】若m 是方程23220x x --=的一个根，那么代数式2312m m -+的值为3.降次”思想 【例8】已知a 是方程2310x x +-=的一个根，则代数式3102a a -+的值为_________ 【练一练】已知m 是方程2200610x x -+=的一个根，试求22200620051m m m -++的值二．一元二次方程的解法1.直接开平方法 【例9】解下列方程（1）24(21)90x --= （2）229(32)(12)x x -=-【练一练】解关于x 的方程：()()222332x x +=+【练一练】解关于x 的方程： ()()22425931x x -=-【练一练】解关于x 的方程：22(31)85x +=【练一练】解方程：2269(52)x x x -+=-2.配方法【例10】用配方法解下列方程（1）22490x x +-= （2）2368x x =-+【练一练】你能用配方法解下列方程吗？试试看（1）2250x x +-= （2）2104x x ++= （3）2324x x -= （4）22410x x -+=【练一练】用配方法解下列方程（1）2640x x --= （2）2420x x +-= （3）211063x x +-= （4）2241y y -=-（5）223546x x x --=- （6）(1)(3)50y y -+-= ⑺22520x x --=3.公式法【例11】用配方法解方程：20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）【例12】用公式法解下列方程（1）210x x --= （2）25720x x -+=【练一练】用公式法解下列方程（1）22310x x +-= （2）2362x x =- （3）23p += （4）235(21)0x x ++= （5）2952n n =- （6）(5)(7)1x x --=（7）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （8）2320x -=4. 因式分解法【例13】若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为【例14】解关于x 的方程：2(41)3(14)40x x ----=【练一练】解方程：2269(52)x x x -+=-【例15】解分式方程：222(1)6(1)711x x x x +++=++5.含绝对值的一元二次方程【例16】设方程22140x x ---=，求满足该方程的所有根之和．【练一练】解方程：210x x --=【题1】 关于x 的方程27(3)30mm x x ---+=是一元二次方程，则______m =【题2】 一元二次方程2()0ax b bx c +++=的二次项系数为 ,一次项系数为 ，常数项为 【题3】 已知关于x 的方程22(3)230m x x m m ++++-=一根为0，则m 的值为（ ）A.1B.3-C.1或3-D.以上均不对【题4】 对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是（ ）A.不论c 为何值，方程均有实数根B.方程根是c bx a -=C.当0c ≥时，方程可化为：ax b +=ax b += D.当0c =时，bx a=【题5】 选择恰当的方法解下列方程（1）219()43x +=；（2）260x x --=；（3）2310y y -+=；（4）22110362x x --=（5）22(54)(43)0x x ---=；（6）22530x x +-=；⑺(27)5(27)x x x +=+；⑻(1)(3)12x x -+=课后作业【题6】 当 时，2(2)30m x mx -++=是关于x 的一元二次方程 【题7】 如果(221)(221)63a b a b +++-=，则a b +的值是 【题8】 若214x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是 【题9】 关于x 的一元二次方程2220mx x m -+=有一根为1-，则m 的值应为 【题10】 阅读材料解答下列问题为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程化为2540y y -+=①，解得14y =，21y =当4y =时，214x -=，∴x =当1y =时，211x -=，∴x =∴原方程的解为1x =2x =，3x =，4x =解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法达到降次的目的，体现了 的数学思想（2）解方程：4260x x --=【题11】 若0x =是方程()2223280m x x m m -+++-=的解，则m = ． 【题12】 三角形的每条边的长都是2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ． 【题13】 若使分式22231x x x +--的值为0，则x 的取值为 ．【题14】 若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值为 ． 【题15】 设方程2220022003200110x x -⨯-=的较大根为r ，方程22001200210x x -+=的较小根为s ，则r s -的值为 ．【题16】 根据下列表格的对应值：判定方程00ax bx c a ++=≠一个解x 的范围是（ ）A ．3 3.23x <<B ．3.23 3.24x <<C ．3.24 3.25x <<D ．3.25 3.26x <<【题17】 已知a b 、是方程240x x m -+=的两个根，b c 、是方程2850x x m -+=的两个根，则m = ．【题18】 设a b 、是整数，方程20x ax b ++=a b +的值是 ． 【题19】 已知2310a a -+=，那么2294921a a a --+=+ ． 【题20】 已知2520000xx --=，那么()()322112x x x ---+-的值为 ．【题21】 设12x x 、是方程24x x +-的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值．【题22】 解方程：24562x x x +-=-【题23】 已知三个关于x 的一元二次方程222000ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=，，恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为 ．【题24】 已知22a b >>，，试判断关于x 的方程()20x a b x ab -++=与()20x abx a b -++=没有公共根，请说明．【题25】 设关于x 的二次方程()()()2221220a x a x a a --+++=①及()()()2221220b x b x b b --+++=②（其中a b 、皆为正整数，且a b ≠）有一个公共根，求b abaa b a b--++的值．。