13.2 线性和非线性FEA对比
下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应力-应变度量 等主要不同将在本章详细介绍。
序号 1.
特征 荷载-位移关系
2.
应力-应变关系
3.
比例缩放
4.
线性叠加
5.
可逆性
6.
求解序列
7.
计算时间
8.
用户与软件的交互
13.3 非线性的类型
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
13.6 非线性静力分析的一般流程
一个典型的非线性静力分析项目需要以下步骤：
网格划分：有限元模型的创建是有限元分析一个非常重要的步骤，不论进行什么样的分析。在第4-7章已经讨论过对 于某些应用的如何选择适当的单元类型。FEA小组会得到零件的几何数据，需要对这些几何进行网格划分以得到零件 网格。当装配中所有的零件划分网格后，使用适当的连接单元把它们都连接在一起如CWELD或CBUSH。一般来说， 四边形单元和六面体单元优于三角形单元、楔形单元和四面体单元。应该注意模型中的关键特征，比如圆角、孔和倒 角。如果在两个平行表面之间有紧固件或焊接，应该尽量在两个面上创建相似的网格。这将有助于焊接单元或刚性单 元垂直于表面而不破坏壳单元。然而，许多有限元分析（FEA）代码支持不依赖于节点焊接，而是基于绑定接触。这 允许用户在两个焊接零件之间创建不依赖于节点的连接单元。建议首先对复杂零件进行网格划分，然后对简单或平面 几何进行网格划分以保证良好的单元质量。需要用适当的方式来模拟夹紧、铰接和焊接以在结构中正确地传递荷载。 为单元定义适当的刚度和预荷载以得到更高的精度。如果荷载从结构上的某个面传递到另一个面上，应该在两个面间 定义接触。每个FEA代码都有自己的接触参数输入格式。一个典型的接触定义需要主从节点或单元，摩擦系数，接触 面间的间隙和接触算法。
XIII 非线性分析
13.1 简介
本章将从实际应用的角度讨论非线性静态有限元分析。但是如何知道我们的问题是非线性呢？最好的方法是考察 一个或多个关键荷载作用点的荷载-位移响应。如“分析类型”一章所述，当结构的响应（变形、应力和应变）与荷载（力、 压力、力矩、扭矩、温度等）成线性比例关系，这样的分析就是线性分析。当荷载与响应的关系不是线性关系时，这 个分析就是非线性分析（如下图所示）。
a. 弹性-分段线性塑性（如下图所示） b. 弹性- 真实应力应变曲线
(a) 弹性材料
(b) 弹塑性材料
线性和非线性材料的应力-应变曲线
3. 没有固定屈服点的非线性弹性材料，比如进入塑性但应变远低于20%
4. 超弹性材料，比如大位移下的橡胶。典型应用是垫片材料。
3）边界条件非线性/接触非线性 当位移D的阶数发生变化时，说明边界条件发生改变，比如自由度的改变。
Log(2/1) = 0.6931
结论
工程应变是不可加的，不能准确 真实应变是可加的，准确表现了
表应变计算1-D应变类似，用F除以当前（变形后）的面积。这种应力通常也称为柯西 应力。
3） Green-Lagrange应变和第二类Piola-Kirchoff应力 Green-Lagrange应变是另一种大应变度量方法，一维情况由下式计算：
13.4 非线性分析中的应力-应变关系度量
线性静态和非线性有限元分析有一个重大区别。在线性分析中，我们经常使用工程应力-应变的定义，而在非线 性分析通常是真实应力-应变。关于应力/应变关系，下面的网页有很好的总结： /TENSILE/tutorial/node3.html。
13.5 非线性有限元分析的基本步骤
1. 在应用一些没有用过的非线性功能之前，先通过一个简单的模型了解软件是如何工作的。预测结构的表现，可 以查看研究报告和示例。
2. 理解软件支持文档，以及输出和警告信息。 3. 明白你需要什么结果。准备一个需要问答的问题清单。为了回答这些问题，来创建分析，包括模型，材料模型
重要并且最终状态不会受有加载历 史非常重要。
史的影响。
荷载一次性加载，没有迭代步。
荷载被分解到多个小的增量步进
行迭代加载以保证每个荷载增量
步都满足平衡条件。
短
长
要求很少
需要经常查看软件状态，因为可
能无法收敛。
有三种基本的非线性类型：几何非线性、材料非线性和接触非线性。回顾线弹性的概念——小变形并且应力与应 变成比例。
线性与非线性响应对比 如之前的章节所述，在静力分析中假定与荷载和响应有关的刚度矩阵是常量。但是，现实世界中所有的结构行为 都是非线性的。刚度矩阵中包含了几何参数如长度、截面积、惯性矩等，还包含材料属性如弹性模量、硬化准则等。 静力分析假设这些参数在结构荷载作用下不发生改变。另一方面，非线性静力分析考虑了在加载过程中这些参数的变 化。 这些变化体现在刚度矩阵的更新上，每个荷载增量作用以后，刚度矩阵都会根据变形以后的结构（即变化后的属 性）重新创建。需要指出的是，虽然现实世界是非线性的，但在许多情况下线性假设是可行的，也就是说可以用线性 分析来替代。从计算资源的角度来说，线性分析消耗的计算资源更少。
线性问题
非线性问题
位移与荷载成线性关系，刚度是常 非线性问题的刚度是随荷载变化
数。位移引起的几何变形认为是小变 的函数。位移可以很大并且几何
形并且可忽略。初始状态或未变形的 变形不可忽略。因此刚度是荷载
状态作为参考状态。
的函数。
在比例极限/弹性极限之前是线性的。 是关于应力-应变或时间的非线性
杨氏模量等属性可以很容易得到。 函数，获取这个关系比较困难，
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
和边界条件。 4. 最终模型要尽可能简单。首先做一个线性分析，可以提供大量的信息，比如哪里的应力高，哪些地方可能发生
的初始接触，多大的荷载将导致模型进入塑性。线性分析的结果甚至可能指出没有必要进行非线性分析。例如： 未达到屈服极限，没有接触并且位移很小。 5. 验证和确认的非线性有限元分析（FEA）的结果。确认是指从数值上看“模型是正确计算的”。不考虑网格尺 寸和时间步长的离散化是常见的错误。验证是指“模型是否正确”，比如几何、材料、边界条件、接触等是否 和真实情况一致。 6. 查看结构的相关假设，打开或关闭大应变后的几何变形，如果简单的材料模型不能给出预期的结果可以尝试不 同的材料模型（某些情况下材料模型只适用于常用单元，你可能需要改变单元类型）。
由于它由更新后的长度L（未知的）的平方来决定，因此它是非线性的。这种方法相比对数应变或Hencky应变在 计算上的优势是它自适应任意大应变问题中的大转角。Green-Lagrange应变对应的应力是第二类Piola-Kirchoff应力， 对于一维问题计算公式如下：
可以看出这个应变没有太多的物理意义。
需要大量的材料实验。注意真实
应力和工程应力之前的差别。
可以。如果1N的力引起了x个单位位 不可以。
移，那么10N的力将产生10 x的位移。
可以。可以进行工况的线性组合。 不可以。
在卸掉外荷载后结构的行为是完全 卸载后的状态与初始状态不同。
可逆的。这也意味着荷载的顺序并不 因此不能进行工况叠加。加载历
线弹性
1) 几何非线性 几何非线性可能与以下几种情况有关：1)大应变 2)大转角 3)大变形 几何非线性会考虑大变形可能引起的几何截面变形（在线性静力分析中截面假定为常量）。大位移也可能由几何
屈曲引起。屈曲是构件在受到较大的压应力情况下的突然失效现象。实际上失稳时的压应力小于材料的根限压应力。 因此平衡方程必须参考变形后的结构几何重写。此外，在荷载增加的过程中，方向可能会发生变化，比如压力作用下 膜结构膨胀。（参考Concepts and applications of finite element analysis; R.D. Cook et. al, 595页）